Matematyka.pl

Czym się różni siła grawitacji od siły ciężkości?
Wiem, że siłę ciężkości uwzględnia się przy wzorze \(\displaystyle{ E=mgh}\).
A siłę grawitacji we wzorze \(\displaystyle{ E=-GMm/R}\) ? Dlaczego?
I czy uzyskałbym taki sam wynik gdybym stosował te dwa wzory, aby obliczyć E potencjalną? Czy to są dwa różne wzory?

Siła ciężkości to masa razy przyspieszenie Ziemskie, a siła grawitacji to masa razy przyspieszenie grawitacyjne. Obie siły można uważać za w przybliżeniu stałe w pobliżu powierzchni Ziemi. Praca obu sił nie zależy od drogi, zatem mają one odpowiadające im energie potencjalne, ale to troszkę bardziej zaawansowane zagadnienie. \(\displaystyle{ -GMm/r}\) ma taką postać ponieważ założyliśmy, że energia potencjalna znika "w nieskończoności". Przecechowując ten wzór tak, by energia znikała na powierzchni Ziemi:
\(\displaystyle{ E_p=-\frac{GMm}{r}+\frac{GMm}{R_Z}}\)
można go sprowadzić do \(\displaystyle{ mgh}\) zakładając, że \(\displaystyle{ r\approx R_Z}\). Sprowadźmy do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ E_p=m\frac{GM}{rR_Z}(r-R_Z)}\),
i korzystając z tego, że \(\displaystyle{ rR_Z\approx R_Z^2}\) oraz \(\displaystyle{ r-R_Z=h}\) mamy \(\displaystyle{ E_p\approx mgh}\). Do około \(\displaystyle{ 60km}\) nad powierzchnia Ziemi wzór ten jest dobrym przybliżeniem.

AiDi pisze:Siła ciężkości to masa razy przyspieszenie Ziemskie, a siła grawitacji to masa razy przyspieszenie grawitacyjne. Obie siły można uważać za w przybliżeniu stałe w pobliżu powierzchni Ziemi.

Przyspieszenie grawitacyjne to wielkość opisująca pole grawitacyjne Ziemi, niezależnie od jej ruchu obrotowego, więc jego wartość powinna być większa niż przyspieszenie ziemskie, ale czy te różnice są niewielkie w pobliżu Ziemi, że można je zaniedbać? I czy na większych odległościach od Ziemi będą bardziej zauważalne (różnice między przyspieszeniem grawitacyjnym a ziemskim)? Jeśli tak to dlaczego?

AiDi pisze: \(\displaystyle{ E_p=-\frac{GMm}{r}+\frac{GMm}{R_Z}}\)

Nie wiem dlaczego tutaj są dwa człony i dlaczego między nimi jest znak plus?

Adamek2002 pisze:ale czy te różnice są niewielkie w pobliżu Ziemi, że można je zaniedbać?

Tak.

I czy na większych odległościach od Ziemi będą bardziej zauważalne (różnice między przyspieszeniem grawitacyjnym a ziemskim)? Jeśli tak to dlaczego?

Zakładając, że nasze laboratorium mimo iż znajduje się nad powierzchnią Ziemi to kręci się razem z nią i jest dokładnie nad jednym wybranym jej punktem, na równiku dla ułatwienia obliczeń:
przyspieszenie ziemskie wyraża się wtedy wzorem:
\(\displaystyle{ g_Z=\frac{GM}{R^2}-\omega^2R}\)
Możesz podstawić dowolnie wybrane dane (\(\displaystyle{ \omega}\) to prędkość kątowa obrotu Ziemi) i sprawdzić co Ci wychodzi. Tylko to raczej taki problem akademicki, bo przyspieszenie ziemskie jest użyteczne tylko przy powierzchni Ziemi, bo wszelkie pomiary wagi (ciężaru) itd. robimy na Ziemi, a nie kilkaset kilometrów nad nią.

Nie wiem dlaczego tutaj są dwa człony i dlaczego między nimi jest znak plus?

Ważną rzeczą o której nie mówi się zazwyczaj w szkole to fakt, że energia potencjalna nie jest zdefiniowana jednoznacznie - możesz do niej dodać zawsze dowolną stałą, fizyki to nie zmieni. Grawitacyjna energia potencjalna w ogólności ma wzór:
\(\displaystyle{ E_p=-\frac{GMm}{r}+C}\),
gdzie \(\displaystyle{ C}\) to stała dowolna. Żeby wyznaczyć \(\displaystyle{ C}\) musimy powiedzieć gdzie chcemy żeby nasza energia potencjalna miała wartość np. \(\displaystyle{ 0}\). Jeśli przyjmiemy, że ma być zero w nieskończoności, to \(\displaystyle{ C=0}\) tak jak w szkole. Ale wzór \(\displaystyle{ E_p=mgh}\) zakładał, że energia potencjalna grawitacji jest równa zeru na powierzchni Ziemi. Więc nie mogę sobie ot tak porównywać wzorów zawartych w Twoim pierwszym poście, muszę je najpierw uzgodnić w ten sposób, by oba dawały \(\displaystyle{ E_p=0}\) w tym samym miejscu - na powierzchni Ziemi. By to zrobić muszę przyjąć \(\displaystyle{ C=\frac{GMm}{R_Z}}\) i wtedy mogę prowadzić dalsze rachunki.