nieskończony ciąg geometryczny

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
piwne_oko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 15 wrz 2007, o 11:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pułtusk
Podziękował: 26 razy

nieskończony ciąg geometryczny

Post autor: piwne_oko » 20 wrz 2007, o 15:31

wyznacz te wartości \(\displaystyle{ x}\), dla ktorych istanieje suma nieskonczonego ciagu liczbowego

\(\displaystyle{ 2^{x},4^{x},8^{x}, ....}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

nieskończony ciąg geometryczny

Post autor: max » 20 wrz 2007, o 16:10

Niech \(\displaystyle{ q}\) oznacza iloraz między dwoma kolejnymi wyrazami tego ciągu.
\(\displaystyle{ q = \frac{2^{(n + 1)x}}{2^{nx}} = 2^{x}}\)
Aby suma tego ciągu istniała musi być:
\(\displaystyle{ |q| < 1}\)
czyli (funkcja wykładnicza przyjmuje wartości nieujemne, więc możemy opuścić wartość bezwzględną):
\(\displaystyle{ 2^{x} < 1\\
2^{x} < 2^{0}}\)

a ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie \(\displaystyle{ 2}\) jest rosnąca, to powyższa nierówność jest równoważna następującej:
\(\displaystyle{ x < 0}\)
Czyli warunki zadania spełnia każda liczba \(\displaystyle{ x\in (-\infty, 0)}\).

ODPOWIEDZ