Matematyka.pl

Chodzi dokładniej o zad 7.26 z Krysickiego. Trzeba policzyć pochodna \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }}\), gdzie \(\displaystyle{ x = \frac{ \cos^{3}t }{ \sqrt{\cos 2t}}, y = \frac{ \sin^{3}t }{ \sqrt{\cos 2t}}}\).

Mam pochodne:
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t } = \frac{\cos ^{2}t(\cos t \cdot \sin 2t-3 \cdot \sin t \cdot \cos 2t)}{(\cos 2t) ^{ \frac{3}{2} } }}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}t } = \frac{\sin ^{2}t(\sin t \cdot \sin 2t+3 \cdot \cos t \cdot \cos 2t)}{(\cos 2t) ^{ \frac{3}{2} } }}\)

Gdy próbuję to łączyć wg wzoru \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}t } }{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t } }}\) to powstają jakieś chore ułamki, a według odpowiedzi ma wyjść -tg3t. Czy to kolejny błąd Krysickiego, czy popełniłem jakąś gafę?

Pochodne obliczone źle (brak czynnika \(\displaystyle{ t^2}\), etc.). Np. ma być:

• \(\displaystyle{ \frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{\cos t^3\sin2t-3t^2\sin t^3\cos2t}{(\cos2t)^{\frac{3}{2}}}}\)

Już wiem. Błąd w zapisie.

Ma być:

• \(\displaystyle{ \newrgbcolor{dg}{0 0.5 0}x=\frac{{\dg{\left(\cos t\right)}}^3}{\sqrt{\cos2t}}\quad y=\frac{{\dg{\left(\sin t\right)}}^3}{\sqrt{\cos2t}}}\)

Te ułamki nie są chore!

Rzeczywiście wychodzi: \(\displaystyle{ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\tg3t}\)

Przepraszam za błąd w zapisie.

Edit: Już udało mi się dojść do rozwiązania.