Matematyka.pl

Witam.
Mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze zrobiłem tą macierz?

Numeracja kolumn:
\(\displaystyle{ 1=x}\)
\(\displaystyle{ 2=y}\)
\(\displaystyle{ 3=z}\)
\(\displaystyle{ 4=t}\)

Najpierw mnożę wiersz \(\displaystyle{ 1}\) przez \(\displaystyle{ -1}\) i dodaję do wiersz \(\displaystyle{ 2}\) i wiersza \(\displaystyle{ 3}\).
Dostaję takie coś.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&\left| 4\right| \\1&-1&1&-1&\left| 2\right| \\1&2&3&4&\left| 5\right|\\0&1&1&2&\left| 6\right| \end{array}\right]}\)

Teraz mnożę wiersz \(\displaystyle{ 2}\) przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i dodaję do wierza \(\displaystyle{ 3}\) i wiersza \(\displaystyle{ 4}\).

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&\left| 4\right| \\0&-2&0&-2&\left| -2\right| \\0&1&2&3&\left| 1\right|\\0&1&1&2&\left| 6\right| \end{array}\right]}\)

Teraz zamieniam wiersz \(\displaystyle{ 3}\) z wierszem \(\displaystyle{ 4}\) :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&\left| 4\right| \\0&-2&0&-2&\left| -2\right| \\0&0&0&2&\left| 0\right|\\0&0&1&1&\left| 5\right| \end{array}\right]}\)

Wychodzę na coś takiego:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&\left| 4\right| \\0&-2&0&-2&\left| -2\right| \\0&0&1&1&\left| 5\right|\\0&0&0&2&\left| 0\right| \end{array}\right]}\)

Teraz:
\(\displaystyle{ 2t=0}\)
czyli \(\displaystyle{ t=0}\)
\(\displaystyle{ 1z+1*0=5}\)
czyli \(\displaystyle{ z=5}\)
\(\displaystyle{ -2y+5*0-2*0=-2}\)
czyli \(\displaystyle{ y=1}\)
\(\displaystyle{ 1x+1*1+1*5+1*0=4}\)
czyli \(\displaystyle{ x=-6}\)

Dobrze rozwiązana jest ta macierz?

Mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze zrobiłem tą macierz?

Macierzy się nie robi. Ty policzyłeś układ równań za pomocą macierzy sprowadzonej do macierzy trójkątnej. Co do obliczeń i wyniku chyba masz mały błąd. Ważne jednak że wiesz co robisz rachunki nie są najważniejsze. Jedyne lekkie zastrzeżenie mam do tego

Teraz mnożę wiersz \(\displaystyle{ 2}\) przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i dodaję do wiesza \(\displaystyle{ 3}\) i wiersza \(\displaystyle{ 4}\).

Piszesz że mnożysz wiersz \(\displaystyle{ 2}\) przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ale tak naprawdę tego nie zrobiłeś bo cały czas piszesz potem

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&\left| 4\right| \\0&-2&0&-2&\left| -2\right| \\0&0&0&2&\left| 0\right|\\0&0&1&1&\left| 5\right| \end{array}\right]}\)

Piszanie na początku

Numeracja kolumn:
\(\displaystyle{ 1=x}\)
\(\displaystyle{ 2=y}\)
\(\displaystyle{ 3=z}\)
\(\displaystyle{ 4=t}\)

W mojej opinii jest dość mylące. Już lepiej napisać słowami "kolumnie pierwszej odpowiada zmienna \(\displaystyle{ x}\)" itd. przyrównywanie zmiennych do liczb to zły pomysł.

Co do błędu obliczeniowego:
Chyba jednak znalazłem błąd obliczeniowy. W tym przejściu

Teraz mnożę wiersz \(\displaystyle{ 2}\) przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i dodaję do wierza\(\displaystyle{ 3}\) i wiersza \(\displaystyle{ 4}\).

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&\left| 4\right| \\0&-2&0&-2&\left| -2\right| \\0&1&2&3&\left| 1\right|\\0&1&1&2&\left| 6\right| \end{array}\right]}\)

Potem piszesz :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&\left| 4\right| \\0&-2&0&-2&\left| -2\right| \\0&0&\red{0}&2&\left| 0\right|\\0&0&1&1&\left| 5\right| \end{array}\right]}\)

Faktycznie.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&\left| 4\right| \\0&-2&0&-2&\left| -2\right| \\0&0&2&2&\left| 0\right|\\0&0&1&1&\left| 5\right| \end{array}\right]}\)

Czyli teraz muzę zamienić kolumny a nie wiersze.
Zamieniam kolumnę \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 4}\) i mnożę wiersz \(\displaystyle{ 3}\) przez \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) i dodaję do wiersza \(\displaystyle{ 4}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&\left| 4\right| \\0&-2&-2&0&\left| -2\right| \\0&0&2&2&\left| 0\right|\\0&0&1&1&\left| 5\right| \end{array}\right]}\)

Dostaję coś takiego.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&\left| 4\right| \\0&-2&-2&0&\left| -2\right| \\0&0&2&2&\left| 0\right|\\0&0&0&0&\left| 5\right| \end{array}\right]}\)

Czyli układ szprzeczny bo po lewej stronie mam same \(\displaystyle{ 0}\) a z poprawej jest liczba różna od zera?

O układzie sprzecznym można już stwierdzić na poziomie pierwszego wyrażania czyli

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&\left| 4\right| \\0&-2&0&-2&\left| -2\right| \\0&0&2&2&\left| 0\right|\\0&0&1&1&\left| 5\right| \end{array}\right]}\)

Bo wynikało by z niego że
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2z+2t=0 \\ z+t=5 \end{cases}}\)

Co jest sprzecznością. Więc cały układ jest sprzeczny.
Ja osobiście nie lubię zamieniać kolumn bo zawsze można się bez tego obejść (algorytm Gausa itd.). Do tego zamiana kolumn często powoduje błędy bo trzeba pamiętać że się je zamieniło i wtedy Twoja tabelka

Numeracja kolumn:
\(\displaystyle{ 1=x}\)
\(\displaystyle{ 2=y}\)
\(\displaystyle{ 3=z}\)
\(\displaystyle{ 4=t}\)

Przestaje być poprawna. I trzeba robić nową...

ale jeśli zadanie zrobiłem tak jak ja to ogólnie ono jest dobrze zrobione?

No wyłączając ten błąd obliczeniowego raczej jest ok (ja bym się nie czepiał...). Oprócz samego "zrobienia" zadania ważny jest też opis słowny, powiedział bym że to jest nawet ważniejsze od matematycznych znaczków w których można zrobić błąd i całość leci a jednocześnie wiedzieć o co w zadaniu chodzi. Więc dobrze jest opisywać co się robi tak jak z tymi wierszami piszesz itd. to podnosi wartość merytoryczną zadania.