Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ x,y,z \in \left[ 1,3 \right]}\) takie że \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=14}\)

Znaleźć max i min wyrazenia ( o ile istnieją ) \(\displaystyle{ W= \left( 1-\frac{y}{x} \right) \left( \frac{z}{x}+2 \right)}\)

\(\displaystyle{ W(x,y,z)= \left( 1-\frac{y}{x} \right) \left( \frac{z}{x}+2 \right)=- \frac{yz}{x^2}+ \frac{z}{x} - \frac{2y}{x}+2}\)

\(\displaystyle{ F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-14=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{dW}{dx}= \frac{2yz}{x^3}- \frac{z}{x^2} + \frac{2y}{x^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dW}{dy}=-\frac{z}{x^2}- \frac{2}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dW}{dy}=- \frac{y}{x^2}+ \frac{1}{x}}\)

Mnożniki Lagrange'a.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{2yz}{x^3}- \frac{z}{x^2} + \frac{2y}{x^2}=2 \lambda x \\
-\frac{z}{x^2}- \frac{2}{x}=2 \lambda y\\
- \frac{y}{x^2}+ \frac{1}{x}=2 \lambda z \end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases} \frac{2yz}{x^2}- \frac{z}{x} + \frac{2y}{x} =2\lambda x^2 \\
-\frac{yz}{x^2}- \frac{2y}{x}=2\lambda y^2\\
- \frac{yz}{x^2}+ \frac{z}{x}= 2\lambda z^2 \end{cases}}\)
Dodajemy stronami i mamy:
\(\displaystyle{ 0=2\lambda \left(x^2+y^2+z^2 \right)}\)
a \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=14}\) czyli \(\displaystyle{ 28 \lambda=0}\) czyli \(\displaystyle{ \lambda =0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{2yz}{x^2}- \frac{z}{x} + \frac{2y}{x} =0 \\
-\frac{yz}{x^2}- \frac{2y}{x}=0\\
- \frac{yz}{x^2}+ \frac{z}{x}= 0 \end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases} \frac{2yz}{x^2}- \frac{z}{x} + \frac{2y}{x} =0 \\
z=-2x \\
y=x \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=14}\)
\(\displaystyle{ x^2+x^2+4x^2=14}\)
\(\displaystyle{ 6x^2=14}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt{ \frac{14}{6} } \wedge x= -\sqrt{ \frac{14}{6} }}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \sqrt{ \frac{14}{6} } \\ y= \sqrt{ \frac{14}{6} } \\z=-2 \sqrt{ \frac{14}{6} }\end{cases} \wedge
\begin{cases} x= -\sqrt{ \frac{14}{6} } \\ y= -\sqrt{ \frac{14}{6} } \\z=2 \sqrt{ \frac{14}{6} }\end{cases}}\)

Żaden punkt z \(\displaystyle{ [1,3]^3}\) nie spełnia w takim razie warunku koniecznego ekstremum czyli nie ma.

A przecież funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy...

Czyli gdzieś na krawędzi jest min i max.

Kresu dolnego należy szukać dla \(\displaystyle{ x=1}\), bo wtedy oba ułamki są największe.
\(\displaystyle{ W(y)=(1-y)( \sqrt{13-y^2}+2 ) \ \wedge \ y \in \left\langle 2;3\right\rangle}\)
W tym przedziale pochodna jest ujemna więc szukany kres dolny wyrażenia W to:
\(\displaystyle{ W(3)=(-2)(4)=-8}\)

Górny kres pewnie(?) będzie przy \(\displaystyle{ y=1}\)

Kres górny można znaleźć jak sugerował kerajs:
\(\displaystyle{ \left( 1-\frac{y}{x} \right) \left( \frac{z}{x}+2 \right) \le \left( 1-\frac{1}{x} \right) \left( \frac{z}{x}+2 \right)=\left( 1-\frac 1 x\right)\left( \frac{\sqrt{13-x^2}}{x}+2 \right)=\\=\left( 1-\frac 1 x\right)\left( \sqrt{ \frac{13}{x^2}-1 }+2 \right)}\)
i teraz jak nie chce Ci się kombinować, to podstawiasz \(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}, t \in\left[ \frac 1 3, 1\right]}\) oraz badasz na tym przedziale funkcję \(\displaystyle{ f(t)=\left( 1-t\right) \left( \sqrt{13t^2-1}+2\right)}\), szukając jej maksimum.

Tak, kres górny mamy dla \(\displaystyle{ y = 1}\) i \(\displaystyle{ x}\) będącym drugim pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ 720x^4 - 4320 x^3 + 8961 x^2 - 5640x - 1400 = 0}\). Wniosek: układający to zadanie jest sadystą.