ciąg rekurencyjny

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
alfred0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 276
Rejestracja: 7 cze 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 38 razy

ciąg rekurencyjny

Post autor: alfred0 » 18 sie 2017, o 19:00

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) taki że \(\displaystyle{ \begin{cases} a_0=1\\ a_{n+1}=\log_3(\sqrt[3]{a_n^3+1})+\frac{4}{3} \end{cases}.}\) Wykaż że jest zbieżny

Kaf
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 819
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 185 razy

Re: ciąg rekurencyjny

Post autor: Kaf » 18 sie 2017, o 19:46

Pokaż, że ten ciąg jest
1) rosnący
2) ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 2}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 67 razy
Pomógł: 4658 razy

Re: ciąg rekurencyjny

Post autor: Premislav » 18 sie 2017, o 20:04

Wskazówka do 1): prosta indukcja po \(\displaystyle{ n}\) plus obserwacja, że \(\displaystyle{ (a_n)}\) ma wyłącznie wyrazy dodatnie (jak chcesz być super formalny, to też indukcyjnie ten fakcik można wykazać). Otrzymasz coś w stylu
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\log_3\left( \text{ coś większego od 1}\right) >0}\)
Wskazówka do 2):
użyj jakichś znanych nierówności z logarytmem.

ODPOWIEDZ