Matematyka.pl

Witam, lina stalowa zaczepiona z dwóch stron(przegubowo) przyjmuje kształt paraboli? To wynika z minimum energii potencjalnej? Siłę rozciągające przy przegubie wyliczę znajdując styczną w przegubie do liny i sumując składowe elementarne siły równoległe do tej stycznej? Wystarczy zająć się połową paraboli przy symetryczności? Idea jest dobra?

Nie, dwukotnie nie,
1. Wystarczy zasięgnąć informacji tu:
... %84cuchowa
2. Enegia potencjalna liny to nie tylko energia"położenie" ale też i sprężysta zgiętej liny, a ta dla lin grubszych i różnej budowy jest różna.
3. Dla podpór na tej samj wysokości i z przegubowym zamocowaniem końców liny oczywista że tak, bo zachodzi wówczas osiowa symetria kształtu liny i jej obciążenia.

Rachunek wariacyjny (równania Eulera-Lagrange'a) dają taką samą odpowiedź:
W tym wyprowadzeniu korzysta się z energii, a konkretnie z lagranżjanu. Swoją drogą bardzo podoba mi się lagranżowskie i hamiltonowskie sformułowanie mechaniki, a zwłaszcza ich związek z zasadami zachowania.

"Równanie Eulera-Lagrange'a pozwala także wyznaczyć krzywą łańcuchową[2], która opisuje kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej między dwoma punktami A i B w jednorodnym polu grawitacyjnym {\displaystyle g} g. Układ mechaniczny jest w równowadze, gdy jego energia potencjalna jest minimalna." (

Jak z tego wynika, co jest wiadomym od dawna, nie jest to równanie opisujące fizyczną linę która nie jest wiotka. Im lina jest dłuższa i cieńsza (względnie cienka) a podpory "szerzej" rozstawione , tym jej kształt jest bardziej zbliżony do linii łańcuchowej.
W.Kr.

Idąc za Pana ideą...
................
Na rys. przedstawiono cięgno o stałym przekroju, obciążone ciężarem własnym, zawieszone w dwóch punktach A i B, na jednakowym poziomie.
Cięgno pod wpływem własnego ciężaru \(\displaystyle{ q, N/m}\) zwisa i tworzy krzywą AO'B.
Rozpiętość cięgna( odległość między punktami AB w rzucie poziomym) oznaczono przez \(\displaystyle{ l.}\)
Odległość \(\displaystyle{ f=OO'}\) nazywamy strzałką ugięcia.
\(\displaystyle{ S _{max}}\)- maksymalne napięcie w punkcie zawieszenia - na rys.p.A
\(\displaystyle{ H}\) - naciąg w środku cięgna
\(\displaystyle{ Q}\)- siła skupiona( zastępujemy obc. ciagłe)
.............................
W praktyce rozróżniamy obliczanie cięgien o dużych zwisach i obl. cięgien o zwisach małych.
Najczęściej mamy do czynienia z obl. z cięgien o małych zwisach- \(\displaystyle{ f \le 0,1l}\)
1.Z przybliżeniem zakładamy, że ciężar własny cięgna rozkłada się równomiernie wzdłuż jego rozpiętości.
Krzywa zwisu (\(\displaystyle{ y= \frac{x ^{2} }{2m})}\) będzie wówczas parabolą drugiego stopnia - potw. można znaleźć w stosownej literaturze(Konstrukcje mostowe - wiszące).
/Im bardziej naciągnięta lina tym bardziej zanika różnica między krzywą łańcuchową, a parabolą./
2.Dla cięgien o małym zwisie kąt nachylenia stycznej do krzywej zwisu na podporze jest równy zeru -\(\displaystyle{ \phi=0}\), to daje zależność między siłami( patrz zamknięty wielobok sił):
\(\displaystyle{ S= \frac{H}{\cos\phi}}\)
\(\displaystyle{ S=H}\)
Wniosek: naciąg wzdłuż całej rozpietosci cięgna mozna uważać za stały.
3. Wartość naciągu cięgna \(\displaystyle{ H}\)-
\(\displaystyle{ \Sigma M _{A}=- \frac{ql }{2} \cdot \frac{l}{4} +H \cdot f}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{ql ^{2} }{8f}}\)
/Obl. z warunku równowagi sumy momentów wszystkich sił wzgl. punktu zawieszenia-tj. punktu A/.
.............................................

Pierwsze pytanie było takie: " lina stalowa zaczepiona z dwóch stron(przegubowo) przyjmuje kształt paraboli? "
Odpowiedź na nie może być jedna, NIE. Bo albo krzywa łańcuchowa albo parabola.

Dla uproszczenia rachunków (kiedyś, bo dziś problem ten omal nie istnieje) dla pewnych warunków, zwis, rozpięość cięgna, kąt wzniosu, czasami i sztywność giętna liny, równanie ugiętej osi liny (rzeczywistej bo o takiej jest tu mowa), równie krzywej aproksymuje się, co oznacza przyblicza się, równaniem paraboli.
" W niektórych obliczeniach technicznych linie łańcuchową zastępuję się parabolą. Wynika to z rozwinięcia funkcji \(\displaystyle{ {\displaystyle y=a\cdot \cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,}}\) w szereg Maclaurina
Dla dostatecznie dużej wartości\(\displaystyle{ {\displaystyle a}}\) a (dla małej wartości \(\displaystyle{ h}\) ) daje dobre przybliżenie linii łańcuchowej parabolą:
\(\displaystyle{ {\displaystyle y\approx a+{\frac {x^{2}}{2a}}\,}}\) "
(to za: ... %84cuchowa)

Pisze też o tym i tu:
... -pl-en.pdf
na str. (31 - 32)/72

Z szacunkiem,
W.Kr.

Dane: długość liny \(\displaystyle{ s=10}\), ciężar liniowy liny \(\displaystyle{ q=10N/m}\) rozstaw podpór \(\displaystyle{ x_{B}=8m}\) Środek układu współrzędnych umieszczam na lewej podporze\(\displaystyle{ A}\). Równanie krzywej łańcuchowej \(\displaystyle{ y(x)=Acosh( \frac{x}{A}+B)+C}\) Stałe \(\displaystyle{ A,B,C}\) wyliczę z trzech warunków: \(\displaystyle{ y(0)=0, y(8)=0, \int_{0}^{8}y(x)dx=10}\) Tu się zatrzymałem xd Największa siła zrywająca występuje zawsze przy podporze(układ symetryczny) Z sumy momentów względem podpory lewej \(\displaystyle{ A}\) wyliczę składową pionowa \(\displaystyle{ R_{By}}\) na podporze \(\displaystyle{ B}\) Czyli coś takiego: \(\displaystyle{ \sum M_{A} =0= R_{By} \cdot 8-q \int_{0}^{8}x \sqrt{1+ \left(\frac{dy}{dx} \right) ^2 }dx}\) Kąt pomiędzy składową poziomą w podporze \(\displaystyle{ B}\), a siłą wypadkową: \(\displaystyle{ \alpha =arctg\left( \frac{dy}{dx} \right)}\) Składowa pozioma przy podporze \(\displaystyle{ B :}\) \(\displaystyle{ R_{Bx}= \frac{R _{By} }{tg( \alpha )}}\) Siła wypadkowa na podporze \(\displaystyle{ B}\): \(\displaystyle{ R_{B}= \sqrt{ R_{Bx} ^{2}+R _{By} ^{2} }}\) Algorytm OK? Obliczenia dotyczą cięgien o małym i dużym zwisie.