3 proste calki

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
KTK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 19 cze 2006, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocek

3 proste calki

Post autor: KTK » 20 wrz 2007, o 13:49

Witam, jutrro mam poprawke z analizy II i musze rozwiazac te zadania wiec bym byl wdzieczyny za pomoc w rozwiazaniu I ZROZUMIENIU ich. z gory dzieki pozdrawiam.

a.) \(\displaystyle{ \int\frac{1}{x^2+4x}dx}\)
b.) \(\displaystyle{ \int {x}e^{13x} dx}\)
c.) \(\displaystyle{ \int\frac{cosx}{\sqrt{1+2sin x}}dx}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

3 proste calki

Post autor: Calasilyar » 20 wrz 2007, o 13:57

a)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x+2)^{2}-2^{2}}=\frac{1}{4}\ln{| \frac{x}{x+4} |}+C}\)

b)
przez części:
\(\displaystyle{ \int xe^{13x}dx=\frac{1}{13}xe^{13}-\int e^{13x}dx=\frac{1}{13}xe^{13}-\frac{1}{13}e^{13x}+C}\)

[ Dodano: 20 Września 2007, 14:01 ]
a i jeszcze c)
c) podstawienie:
\(\displaystyle{ t=sinx}\)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

3 proste calki

Post autor: scyth » 20 wrz 2007, o 14:02

1. Rozkład funkcji na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+4x}=\frac{1}{4x}-\frac{1}{4(x+4)}}\)
Dostajemy:
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{x^2+4x}dx=\int\frac{1}{4x}dx-\int\frac{1}{4(x+4)}dx}\)

2. Całkujemy przez części:
\(\displaystyle{ u=x, \ u'=1 \\
v'=e^{13x}, \ v=\frac{e^{13x}}{13}}\)

Dostajemy:
\(\displaystyle{ \int {x}e^{13x}dx=\frac{xe^{13x}}{13}-\int\frac{e^{13x}}{13}dx=\frac{e^{13x}}{169}(13x-1)}\)

3. Przez podstawienie:
\(\displaystyle{ t=1+2\sin{x}, \\
dt=2\cos{x} dx \cos{x} dx=\frac{dt}{2}}\)

Dostajemy:
\(\displaystyle{ \int\frac{cosx}{\sqrt{1+2sin x}}dx=\int\frac{dt}{2\sqrt{t}}=\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}}dt=t^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1+2\sin{x}}}\)

KTK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 19 cze 2006, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocek

3 proste calki

Post autor: KTK » 20 wrz 2007, o 14:54

Wielkie dzieki za pomoc! Pozdrawiam

sqnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 19 wrz 2007, o 19:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

3 proste calki

Post autor: sqnek » 20 wrz 2007, o 17:20

Mam pytanie jak rozłożyłeś ten ułamek?
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+4x}=\frac{1}{4x}-\frac{1}{4(x+4)}}\)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

3 proste calki

Post autor: scyth » 20 wrz 2007, o 17:44

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+4x}=\frac{1}{x(x+4)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+4} \\
\frac{1}{x^2+4x}=\frac{A(x+4)+Bx}{x^2+4x} \\
A(x+4)+Bx=1 \\
(A+B)x+4A=0x+1 \\
\\
\begin{cases}
A+B=0 \\
4A=1
\end{cases}
\\ A=\frac{1}{4}, \ B=-\frac{1}{4}}\)

ODPOWIEDZ