Matematyka.pl

Zadanie:
Kawałek drutu o długości \(\displaystyle{ 20 cm}\) zgięto pod kątem prostym w przypadkowo wziętym punkcie. Następnie zgięto drut jeszcze w dwóch punktach, tak by utworzyła się ramka prostokątna o
obwodzie \(\displaystyle{ 20 cm}\) . Jakie jest prawdopodobieństwo, że pole ramki nie przekroczy \(\displaystyle{ 21 cm^{2}}\) ?

Ze wstępnej analizy możliwości zagięć wywnioskowałem, że gdy nie zegniemy w połowie to mamy chyba tylko jedną możliwość wybrania pozostałych dwóch punktów. Przy zgięciu w połowie możemy utworzyć nieskończenie wiele prostokątów. Po pierwszym zgięciu (jeśli nie trafiliśmy w środek) krótszy odcinek wystarczy chyba wpasować w środek dłuższego i tworzymy wtedy prostokąt. I te prostokąty należą do zbioru prostokątów, które możemy utworzyć po trafieniu w środek drutu. Nie mogę dostrzec tu sposobu policzenia tego prawdopodobieństwa. Pomożecie?

Prawdopodobieństwo geometryczne

Pole ramki:

\(\displaystyle{ x(10-x)<21, \ \ ( -(x-3)(x-7) <0 )\rightarrow ( 3< x <7) cm.}\)

Obwód ramki:

\(\displaystyle{ (2x+2y =20) \rightarrow (y = 10 - x).}\)

Prawdopodobieństwo (z zastosowaniem całki oznaczonej)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}= \frac{ \int_{3}^{7}(10-x)dx }{\int_{0}^{10}(10-x)dx }\frac{cm^2}{cm^2} = \frac{2}{5}.}\)

albo

w układzie współrzędnych prostokątnych \(\displaystyle{ Oxy}\) rysunek trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ \Omega}\) o przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ 10 cm}\) z wpisanym trapezem prostokątnym \(\displaystyle{ A}\) o wysokości \(\displaystyle{ \overline{(3 - 7)} cm.}\)


\(\displaystyle{ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}= \frac{\frac{3+7}{2}\cdot 4 cm^2}{\frac{1}{2}10\cdot 10 cm^2 }= \frac{2}{5}.}\)