Matematyka.pl

Zadanie:
W koło o promieniu \(\displaystyle{ R}\) wpisano trójkąt równoboczny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 3 spośród 4 postawionych na chybił trafił w danym kole punktów będą leżały wewnątrz trójkąta. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba tych punktów wewnątrz trójkąta?

Pierwsze co mi przyszło do głowy to pole trójkąta przez pole koła. Tylko nie wiem czy to dobre myślenie oraz jak to powiązać ze stawianiem tych punktów. Pomożecie?

Schemat Bernoulliego:
\(\displaystyle{ {4 \choose 3}\left( \frac{ \frac{3 \sqrt{3}R^2 }{4} }{ \pi R^2}\right) ^3\left( 1- \frac{ \frac{3 \sqrt{3}R^2 }{4} }{ \pi R^2}\right) ^1}\)

Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba tych punktów wewnątrz trójkąta?

Musisz policzyć
\(\displaystyle{ {4 \choose 2}\left( \frac{ \frac{3 \sqrt{3}R^2 }{4} }{ \pi R^2}\right) ^2\left( 1- \frac{ \frac{3 \sqrt{3}R^2 }{4} }{ \pi R^2}\right) ^2}\)
\(\displaystyle{ {4 \choose 1}\left( \frac{ \frac{3 \sqrt{3}R^2 }{4} }{ \pi R^2}\right) ^1\left( 1- \frac{ \frac{3 \sqrt{3}R^2 }{4} }{ \pi R^2}\right) ^3}\)
\(\displaystyle{ {4 \choose 0}\left( 1- \frac{ \frac{3 \sqrt{3}R^2 }{4} }{ \pi R^2}\right) ^4}\)
i wybrać największy wynik.