Równanie rózniczkowe jednorodne

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
tuumek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 20 wrz 2007, o 12:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sad
Podziękował: 1 raz

Równanie rózniczkowe jednorodne

Post autor: tuumek » 20 wrz 2007, o 12:34

witam mam problem z takim zadankiem:


\(\displaystyle{ 2(x+y)y^{'}=y}\)

_____
"!!!" - ozdobnik?
bolo
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2007, o 13:51 przez tuumek, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równanie rózniczkowe jednorodne

Post autor: luka52 » 20 wrz 2007, o 14:49

Przekształćmy to równanie do postaci:
\(\displaystyle{ -y \, + 2(x+y) \mbox{d}y = 0}\)
Oznaczmy teraz:
\(\displaystyle{ P(x,y) = -y, \quad Q(x,y) = 2x + 2y}\)
Ponieważ nie jest to r. zupełne, spróbujemy wyznaczyć czynnik całkujący.
Zauważmy, że wyrażenie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{P} ft( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) = - \frac{3}{y}}\)
jest funkcją tylko zmiennej y, zatem czynnikiem całkującym jest:
\(\displaystyle{ \mu (y) = \mbox{exp} ft( t - \frac{3 \, \mbox{d}y}{y} \right) = y^{-3}}\)
Po przemnożeniu naszego równania przez czynnik całkujący otrzymamy:
\(\displaystyle{ - y^{-2} \, + 2 \frac{x+y}{y^3} \, \mbox{d}y = 0}\)
Jest to już równanie zupełne, którego rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ - \frac{x + 2y}{y^2} = C}\)

tuumek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 20 wrz 2007, o 12:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sad
Podziękował: 1 raz

Równanie rózniczkowe jednorodne

Post autor: tuumek » 20 wrz 2007, o 15:08

czy nie ma jakiegoś innego sposobu rozwiązania tego zadania??



Mam odpowiedzi od wykładowcy : \(\displaystyle{ y^{2}=C(y+\frac{x}{2})}\) v \(\displaystyle{ y= - \frac{1}{2}x}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równanie rózniczkowe jednorodne

Post autor: luka52 » 20 wrz 2007, o 15:15

Możesz spróbować podzielić to równanie obustronnie przez y i podstawić \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}}\), lecz nie rozwiązywałem tym sposobem równania do końca, więc nie gwarantuję niczego

tuumek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 20 wrz 2007, o 12:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sad
Podziękował: 1 raz

Równanie rózniczkowe jednorodne

Post autor: tuumek » 20 wrz 2007, o 15:38

hmmm...
Próbuje to podzielić tak jak mówiłeś i jakoś średnio mi to wychodzi..
Może doliczyłbyś do końca?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równanie rózniczkowe jednorodne

Post autor: luka52 » 20 wrz 2007, o 16:16

Po zastanowieniu się stwierdzam, że chyba lepiej będzie podstawić \(\displaystyle{ u = \frac{x}{y}}\), wtedy:
\(\displaystyle{ y = \frac{x}{u}, \quad y' = \frac{u - xu'}{u^2}}\)
Równanie sprowadza sie do:
\(\displaystyle{ (u+1) \frac{u - xu'}{u^2} = \frac{1}{2}\\
u - xu' = \frac{u^2}{2(u+1)}\\
x \frac{du}{dx} = \frac{2u + u^2}{2(1+u)}\\
\frac{2(1+u)}{u(2+u)} du = \frac{dx}{x}\\
\ln |u (u+2) | = \ln |Cx|\\
u(u+2) = Cx \ldots}\)

ODPOWIEDZ