Matematyka.pl

Cześć,
Witam wszystkich serdecznie, to mój pierwszy post. Mam problem z takim zadaniem maturalnym:

Pewna liczba moli dwuatomowego gazu doskonałego o parametrach początkowych \(\displaystyle{ (p, V, T)}\) została poddana przemianom termodynamicznym \(\displaystyle{ (1\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 1)}\). Oblicz sprawność cyklu \(\displaystyle{ B}\). Wiadomo, że ciepło dostarczone w przemianie \(\displaystyle{ 1\rightarrow 3}\) wynosi \(\displaystyle{ Q = \frac{38,5}{2} pV}\).



Wiem, jak obliczyć W i sprawność. Tylko jedna rzecz jest niejasna: w odpowiedziach podano, że \(\displaystyle{ Q _{3\rightarrow 4} = 0}\) i dlatego \(\displaystyle{ Q_{\mbox{całk}} = \frac{38,5}{2} pV}\). Dlaczego \(\displaystyle{ Q_{3\rightarrow 4}}\) jest równe \(\displaystyle{ 0}\)?

Pozdrawiam,
Kasia

A ile wynosi objętość gazu w punkcie 3? Bo jak dla mnie to dziwnie wygląda ten wykres, jeśli zmienia się zarówno ciśnienie, jak i objętość (na co wskazuje ten wykres), to temperatura powinna być niezmienna, a jakoś nie widzę tutaj ani izotermy, ani adiabaty...

@Cosinus01 dziękuję za szybką odpowiedź.
Z obrazka wynika, ze to trójkąt równoramienny, więc zgaduję, że \(\displaystyle{ V_{3}=2.5 V}\)
Na pewno nie są to izoprzemiany, z równania Clapeyrona zresztą wynika, że temperatura się zmienia.

Nie mam pojęcia, jak rozwiązać to zadanie. Są proste równania na pracę, ciepło, entalpię i energię wewnętrzną w procesach przemian izobarycznych (zmieniają się T oraz V), izotermicznych (zmieniają się p oraz V) i izochorycznych (zmieniają się p oraz T). W tym zadaniu widzę tylko jedną przemianę izobaryczną (4 -> 1). W pozostałych przemianach zmieniają się wszystkie trzy parametry stanu, nie znam żadnych równań na pracę, ciepło, entalpię i energię wewnętrzną w przypadku zmiany wszystkich trzech parametrów stanu gazu.

Z jakich wzorów korzystałaś przy tym zadaniu?

KasiaDrozda pisze:
Dlaczego \(\displaystyle{ Q_{3\rightarrow 4}}\) jest równe \(\displaystyle{ 0}\)?

Niekoniecznie zero ale skoro wiadomo jakie jest ciepło pobrane, to sprawność \(\displaystyle{ \eta = \frac{W}{Q_{pob}}}\) więc łatwo obliczając pole trójkąta i podstawiając otrzymasz, że \(\displaystyle{ \eta \approx 16 \ %}\).

W jaki sposób wykazać, że \(\displaystyle{ Q_{3 \rightarrow 4}<0}\)?
Czy dobrze kombinuję w ten sposób:
\(\displaystyle{ \Delta U = Q + W}\), stąd:
\(\displaystyle{ Q=\Delta U-W}\)
\(\displaystyle{ W<0}\) (gaz wykonuje pracę) i \(\displaystyle{ \Delta U <0}\) (temperatura maleje). Wystarczy więc wykazać, że \(\displaystyle{ \left| \Delta U\right| > \left| W\right|}\).
Zakładając, że \(\displaystyle{ V_{3}=2.5V}\):
(Wiem, ze nie mogę bezpośrednio z wykresu odczytać tej wartości, ale obliczenia będą poprawne dla każdego \(\displaystyle{ V_{3}>2V}\), więc wygodnie mi przyjąć taką liczbę)
\(\displaystyle{ \left| W\right| = \frac{1}{2} \cdot 2p \cdot 1.5V = 1.5pV}\) (pole prawej połowy trójkąta)
\(\displaystyle{ \left| \Delta U\right| = n C_{V} \Delta T}\)
\(\displaystyle{ \Delta T = T_{4}-T_{3}= 7.5 T - 4T = 3.5 T}\) (obliczone z: \(\displaystyle{ \frac{pV}{T} =\frac{p_{3} V_{3}}{T_{3}}=\frac{p_{4} V_{4} }{T_{4} }}\))
\(\displaystyle{ \left| \Delta U\right| = \frac{5}{2} nR \cdot 3.5T = 8.75 nRT = 8.75 pV}\)

Czy jest prostszy sposób na określenie znaku Q? Np. bezpośrednio z wykresu lub po prostu bez obliczeń?