Matematyka.pl

W trójkącie ABC mamy AB=5. Dwa punkty E i F leżą na BC tak, że BE=1, EF=3, CF=2. AE i AF
przecinają okrąg opisany na trójkącie ABC odpowiednio w punktach G i H tak że GH i BC są
równoległe. Oblicz długość AC.

Niech \(\displaystyle{ AC=x}\).

1)
\(\displaystyle{ \Delta ABE \sim \Delta CEG \Rightarrow \frac{5}{1}=\frac{CG}{EG} \Rightarrow EG = \frac{1}{5} \cdot CG}\)

2)
\(\displaystyle{ \Delta ACF \sim \Delta BHF \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{BH}{FH} \Rightarrow FH = \frac{2}{x} \cdot BH}\)

3)
\(\displaystyle{ \Delta ABF \sim \Delta ACG \Rightarrow \frac{BF}{AB}= \frac{CG}{AG} \Rightarrow \frac{4}{5} = \frac{CG}{AE+EG}=\frac{CG}{AE+ \frac{1}{5} \cdot CG} \Rightarrow AE=\frac{21}{20} \cdot CG}\)

4) z drugiej strony to samo:
\(\displaystyle{ \Delta ACE \sim \Delta ABH \Rightarrow \frac{CE}{AC}= \frac{BH}{AH} \Rightarrow \frac{5}{x} = \frac{BH}{AF+FH}=\frac{BH}{AF+ \frac{2}{x} \cdot BH} \Rightarrow AF=\frac{x^2-10}{5x} \cdot BH}\)

5)
\(\displaystyle{ \Delta CEG \sim \Delta ABE \Rightarrow \frac{CG}{CE} = \frac{AB}{AE} \Rightarrow \frac{CG}{5} = \frac{5}{AE} \Rightarrow AE=\frac{25}{CG}}\)

6) z drugiej strony to samo:
\(\displaystyle{ \Delta BFH \sim \Delta ACF \Rightarrow \frac{BH}{BF} = \frac{AC}{AF} \Rightarrow \frac{BH}{4} = \frac{x}{AF} \Rightarrow AF=\frac{4x}{BH}}\)

7) Z 3) i 5) mamy
\(\displaystyle{ \frac{21}{20} \cdot CG = \frac{25}{CG} \Rightarrow CG^2 = \frac{20 \cdot 25}{21}}\)

8) Z 4) i 6) mamy
\(\displaystyle{ \frac{x^2-10}{5x} \cdot BH = \frac{4x}{BH} \Rightarrow BH^2 = \frac{20x^2}{x^2-10}}\)

9)
\(\displaystyle{ \Delta BCG \equiv \Delta BCH \Rightarrow BH=CG \Rightarrow \frac{20x^2}{x^2-10}=\frac{20 \cdot 25}{21} \Rightarrow x=\sqrt{\frac{250}{4}}}\)