Kryteria spójności przestrzeni (twierdzenie W. Kołodzieja)

[alanacm1899]

Witam,
W książce Pana Witolda Kołodzieja: "Analiza Matematyczna", Warszawa, PWN 1978, natknąłem się na następujące twierdzenie (strona 92, tak gdyby ktoś posiadał akurat to wydanie):
Na to aby przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) była spójna potrzeba i wystarcza aby dla każdej funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f:X\rightarrow \RR}\) zbiór \(\displaystyle{ f(X)}\) był przedziałem; innymi słowy, aby funkcja \(\displaystyle{ f}\) miała własność Darboux.
Następnie jest przedstawiony dowód konieczności i ten nie stanowi żadnego problemu. Za to dowód dostateczności mnie zastanowił:
Załóżmy, że przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) nie jest spójna. Wtedy istnieją zbiory otwarte, rozłączne i niepuste \(\displaystyle{ U_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ U_{2}}\) takie, że \(\displaystyle{ X = U_{1} \cup U_{2}}\). Przyjmijmy

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1 &\mbox{dla }x \in U_{1} \\ 0 &\mbox{dla } x \in U_{2}. \end{cases}}\)

Określona w ten sposób funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \RR}\) jest oczywiście ciągła ale nie ma własności Darboux.

Dlaczego określona w dowodzie funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła? Jak dla mnie to jest nieciągła.

[szw1710]

Ta funkcja jest ciągła, gdyż przeciwobraz każdego zbioru otwartego (w \(\displaystyle{ \RR}\)) jest otwarty (w \(\displaystyle{ X}\)). Niech \(\displaystyle{ V}\) zawiera tylko jedynkę. Jaki jest jego przeciwobraz? Itp.

[alanacm1899]

Dzięki za odpowiedź. Myślałem dokładnie tak samo tylko nie byłem pewien czy jednoelementowy podzbiór \(\displaystyle{ \RR}\) jest zbiorem otwartym. Wydawało mi się, że nie, gdyż nie można dla tego elementu dobrać takiego \(\displaystyle{ r}\) żeby kula o środku w tym punkcie i promieniu \(\displaystyle{ r}\) się w tym zbiorze zawierała. Wręcz przeciwnie, dopełnienie takiego zbioru jest zbiorem otwartym postaci \(\displaystyle{ (- \infty , x) \cup (x, \infty)}\) więc myślałem, że zbiór jednoelementowy jest raczej domknięty. Z drugiej strony nie da się dla niego dobrać ciągu punktów tego zbioru różnych od \(\displaystyle{ x}\) i zbieżnych do \(\displaystyle{ x}\).
Możesz wyjaśnić dlaczego jednoelementowy podzbiór \(\displaystyle{ \RR}\) jest w nim otwarty? Czy tak jak cała przestrzeń zbiór jednoelementowy jest jednocześnie otwarty i domknięty?

[Dasio11]

Zbiór \(\displaystyle{ \{ 1 \}}\) nie jest otwarty, ale \(\displaystyle{ ( 0, 2 )}\) już tak, a przeciwobraz jest ten sam.

Można też powiedzieć, choć jest to w zasadzie ten sam argument, że rozpatrujemy \(\displaystyle{ f}\) jako funkcję \(\displaystyle{ f : X \to \{ 0, 1 \},}\) przy czym na przeciwdziedzinie zadana jest topologia podprzestrzeni \(\displaystyle{ \{ 0, 1 \} \subseteq \RR,}\) i wtedy \(\displaystyle{ \{ 1 \}}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \{ 0, 1 \}.}\)

[szw1710]

Zbiór \(\displaystyle{ \{ 1 \}}\) nie jest otwarty, ale \(\displaystyle{ ( 0, 2 )}\) już tak, a przeciwobraz jest ten sam.

Można też powiedzieć, choć jest to w zasadzie ten sam argument, że rozpatrujemy \(\displaystyle{ f}\) jako funkcję \(\displaystyle{ f : X \to \{ 0, 1 \},}\) przy czym na przeciwdziedzinie zadana jest topologia podprzestrzeni \(\displaystyle{ \{ 0, 1 \} \subseteq \RR,}\) i wtedy \(\displaystyle{ \{ 1 \}}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \{ 0, 1 \}.}\)

Czy jesteś pewien, że w kontekście własności Darboux możemy rozważać zbiór dwuelementowy jako przeciwdziedzinę? Oczywiście zgadzam się, że argument wykazujący ciągłość jest ten sam.

alanacm1899, w \(\displaystyle{ \RR}\) rozważamy standardową topologię. No i niech \(\displaystyle{ V\subset\RR}\) będzie zbiorem otwartym. Możliwe są cztery przypadki: \(\displaystyle{ 0\in V}\), ale \(\displaystyle{ 1\not\in V}\), symetryczny przypadek, \(\displaystyle{ \{0,1\}\subset V}\) oraz \(\displaystyle{ 0,1\not\in V}\). Tak to trzeba rozważać, jeśli analizujemy naszą funkcję pod kątem własności Darboux.

[Dasio11]

Czy jesteś pewien, że w kontekście własności Darboux możemy rozważać zbiór dwuelementowy jako przeciwdziedzinę?

Pokazujemy teraz, że funkcja

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{dla } x \in U_1 \\ 0 & \text{dla } x \in U_2 \end{cases}}\)

jest ciągła. Skoro \(\displaystyle{ \mathrm{rng} \, f = \{ 0, 1 \},}\) to w ramach dowodu ciągłości można rozważać \(\displaystyle{ f}\) jako funkcję \(\displaystyle{ X \to \{ 0, 1 \},}\) bo ten fragment nie ma nic wspólnego z własnością Darboux.

[szw1710]

No dobrze, ale mamy tam jasny kontekst i to ma służyć jako dowód charakteryzacji przestrzeni spójnych. W tym kontekście musimy pracować w całym \(\displaystyle{ \RR}\). Sama ciągłość to jedno i oczywiście argument nie zależy za bardzo od przeciwdziedziny (w rozsądnych granicach), a brak własności Darboux to drugie. Trzeba to rozważać holistycznie, nie zadaniowo.

[Dasio11]

Czyli Twoim zdaniem dowód ciągłości przez rozważanie tej samej funkcji z inną przeciwdziedziną jest niepoprawny?

Mnie specjalnie nie zależy, żeby przeforsować ten dowód (choć twierdzę, że jest poprawny), ale uznałem go za wartościowy wobec pytania, czy zbiór \(\displaystyle{ \{ 1 \}}\) jest otwarty. W \(\displaystyle{ \RR}\) nie jest, ale możemy go traktować tak, jakby był, ze względu na to, że jest otwarty w przeciwdziedzinie.

[szw1710]

Czyli Twoim zdaniem dowód ciągłości przez rozważanie tej samej funkcji z inną przeciwdziedziną jest niepoprawny?

Jest jak najbardziej poprawny, tylko nie służy celowi nadrzędnemu, jaki wskazuje autor wątku. Tu jest tak, że zarówno w topologii standardowej w \(\displaystyle{ \RR}\), jak i dyskretnej w \(\displaystyle{ \{0,1\}}\), wszystko jest OK. Tak więc jeśli naszym zadaniem jest tylko wykazanie ciągłości, Twój sposób jest dobry i przyznam, że początkowo też tak chciałem to zrobić. Mało tego, zgadzam się, że jest wartościowy wobec kwestii otwartości (a raczej jej braku) singletonu w topologii standardowej.

Rozważenie \(\displaystyle{ \RR}\) w przeciwdziedzinie ma taką zaletę, że rozwiązuje od razu dwie kwestie: ciągłość i brak własności Darboux. Bo chyba zgodzisz się, że o własności Darboux trudno mówić w przypadku \(\displaystyle{ \{0,1\}}\).

[a4karo]

Pozwólcie zacytować zadanie:

Na to aby przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) była spójna potrzeba i wystarcza aby dla każdej funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f:X\rightarrow \RR}\) zbiór \(\displaystyle{ f(X)}\) był przedziałem; innymi słowy, aby funkcja \(\displaystyle{ f}\) miała własność Darboux.

Rozpatrywać należy zatem funkcje w \(\displaystyle{ \RR}\) a nie w \(\displaystyle{ \{0,1\}}\), funkcja już została opisana, a zamiast przeciwobrazów singetonów (które otwarte nie są) wystarcz brać np. półproste \(\displaystyle{ (1/2,\infty)}\) i \(\displaystyle{ (-\infty,1/2)}\)

[Dasio11]

Rozpatrywać należy zatem funkcje w \(\displaystyle{ \RR}\) a nie w \(\displaystyle{ \{0,1\}}\)

Co przez to rozumiesz? Twoim zdaniem dowód ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f : X \to \RR}\) poprzez zamianę przeciwdziedziny na \(\displaystyle{ \{ 0, 1 \}}\) jest poprawny czy nie?

[szw1710]

Dasio11, czy przeczytałeś, o co chodzi w pytaniu?

Na to aby przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) była spójna potrzeba i wystarcza aby dla każdej funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f:X\rightarrow \RR}\) zbiór \(\displaystyle{ f(X)}\) był przedziałem; innymi słowy, aby funkcja \(\displaystyle{ f}\) miała własność Darboux.

[Dasio11]

Przeczytałem. Pytanie jest takie:

Dlaczego określona w dowodzie funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła? Jak dla mnie to jest nieciągła.

a to, co cytujesz, to okoliczności, w jakich autor się nad tym pytaniem zastanawia.

Tak więc jeśli naszym zadaniem jest tylko wykazanie ciągłości, Twój sposób jest dobry

Czyli chyba się zgadzamy?

[szw1710]

a to, co cytujesz, to okoliczności, w jakich autor się nad tym pytaniem zastanawia.

I te okoliczności trzeba uwzględnić.

Odejdę na moment od matematyki. Niektórzy lekarze leczą tylko wąski skrawek ciała. Laryngolog patrzy do gardła i daje jakieś leki. Inny laryngolog (mój kolega z liceum) zadaje pytania z pozoru nie związane z jego działką. Zastanawia się nad powodem dolegliwości, czasem odległym od objawów. To holistyczne podejście daje wspaniałe efekty.

Chcę powiedzieć, że w mojej opinii skupiłeś się na wąskim aspekcie sprawy. Owszem, pytanie było o ciągłość, ale kontekst własności Darboux jasny i trzeba go uwzględnić w doborze metody (tu przeciwdziedziny i w niej topologii). Co do poprawności sposobu dowodzenia ciągłości (z topologią dyskretną) nie mam najmniejszej wątpliwości. Także do tego, że w tym wąskim podejściu nie jest ważne czy memy całe \(\displaystyle{ \RR}\), czy też tylko dyskretne \(\displaystyle{ \{0,1\}}\). Ale podejście dyskretne nie jest holistyczne. Tak więc dla mnie bardzo ważne są te okoliczności.

Jak widać, i w matematyce są jakieś możliwości interpretacji. I jak tu nie mówić, że matematyka jest nauką humanistyczną?