Matematyka.pl

Witam.

Chciałbym podzielić się metodą (wzorem), który pozwala uogólnić i przybliżyć ciąg dla wartości niecałkowitych. Nie działa to jednak dla wszystkich ciągów np. jeśli ciąg rośnie zbyt szybko (choćby wykładniczo) lub znak wyrazów tego ciągu ciągle się zmienia, to metoda nie będzie działać. Metoda wygląda tak:

Niech dany będzie ciąg \(\displaystyle{ c_{k}}\). Ustalmy funkcje:

\(\displaystyle{ F_{n}(i) = {n \choose i} \sum_{k = 0}^{n} \left(a_{k + 1} \cdot (-1) ^{n + k + i} \cdot {n + k + 1 \choose n} \cdot \sum_{g = 0}^{i} \left( {n + g \choose n} {n - i + g \choose k} \right) \right)}\)

Możemy teraz przybliżyć \(\displaystyle{ a_{z}}\) jako:

\(\displaystyle{ a_{z} \approx \sum_{i = 0}^{n} {{z + i \choose i}^{-1} F_{n}(i)}}\)

Z coraz lepszą dokładnością dla większych \(\displaystyle{ n}\).

Generalnie dla \(\displaystyle{ z \le n \ \ z \in \mathbb{N}}\) zachodzi znak równości. Mi samemu ciężko stwierdzić, czy dla odpowiednio dużego \(\displaystyle{ z \not\in \mathbb{N}}\) granica:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n} {{z + i \choose i}^{-1} F_{n}(i)}}\)

istnieje, mogę jednak napisać, że im większe \(\displaystyle{ z}\) (oraz im bliższe liczbie całkowitej), tym szybciej ta granica zbiega.

Na koniec podam jeszcze tylko jeden przykład: niech \(\displaystyle{ c_{k} = \ln(\Gamma(k))}\). Dla \(\displaystyle{ z = 12.5 \ \ n = 11}\) nasze przybliżenie będzie równe \(\displaystyle{ 18.734341662428}\) , a tymczasem mamy \(\displaystyle{ \ln(\Gamma(12.5) \approx 18.7343475119364}\).

Ale przeciez do tego wzoru na przyblizenie wstawiasz wartosci ciagu

Chodzi o to, żeby przybliżyć wartości takie jak: \(\displaystyle{ c_{2.5}, c_{4.1}, c_{\sqrt{2}}, c_{\pi}}\) itd.

Hmh... niech \(\displaystyle{ a \colon \mathbb R \to \mathbb R}\) będzie wolno rosnącą funkcją, której wartości znamy tylko w punktach \(\displaystyle{ n \in \mathbb N}\). Ustalmy \(\displaystyle{ x = n + \varepsilon}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 < \varepsilon < 1}\). Wtedy

\(\displaystyle{ a(x) \approx (1-\varepsilon) a(n) + \varepsilon a(n+1)}\)

(dla niektórych funkcji, na przykład wypukłych).

Nadal nie rozumiem. Przyblizasz wartosci funkcji (zalozmy, ze C1) w dowolnym punkcie za pomoca jej wartosci w zbiorze liczb naturalnych. W jaki sposob to m0ze dawaccoraz lepsze oszacowanie? Jezeli masz dwie rozne funkcje, ktore zgadzaja sie na oiczbach naturalnych, to Twoj wzor ich nie rozroznia. A uzycie tego do przyblizenia funkcj8 Gamma to jest tzw circular argument ( chyba tak tklo sie nazywa) bo we wzorze korzystasz z uogolnionei silni (czyli funkcji Gamma).

W jaki sposób daje to coraz lepsze oszacowanie? Sam do końca nie wiem. Patrząc na różne wykresy dla różnych ciągów doszedłem do właśnie takiego wniosku. Esencją tej metody jest to, że "przewiduje" zachowanie ciągu (funkcji) na zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych używając zaledwie wartości ciągu (funkcji) dla liczb naturalnych. Weźmy choćby taką funkcję (już odpuszczę sobie z ciągami):

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sin(\frac{\ln(x + 1)}{x})}}\)

Dla \(\displaystyle{ n = 15}\) otrzymujemy przybliżenie \(\displaystyle{ f(10.5) \approx 14.057234890378744}\), które jest zgodne co do 9 miejsc po przecinku. Weźmy taką funkcję:

\(\displaystyle{ f(n + 1) = \sum_{i = 0}^{n} {\sqrt[i + 1]{f(i) \cdot f(n - i)}} \ \ \ \ \ f(0) = 1}\)

Z tej definicji nie jesteśmy w stanie obliczyć wartości \(\displaystyle{ f(11.5)}\), jednak używając tą metodę otrzymujemy: \(\displaystyle{ f(11.5) \approx 152.91165441339976}\) z dokładnością do ok. 7 miejsc po przecinku (taką dokładność otrzymałem porównując wyniki dla różnych \(\displaystyle{ n}\)). I to jest esencja tej metody!

Nie wiem dlaczego to Ci dalo takie lafne qyniki, ale jakby to dzialalo, to bys pokazal, ze wartosci funkcji w liczbach naturalnych determinuja jej wartosci na calej polprostej dodatniej. Moze wyjasnij skad wzial sie wzor na to przyblizenie.

Wzór wziął się od tego, że szukałem takiej funkcji \(\displaystyle{ F(x)}\) , że:

\(\displaystyle{ \frac{1}{k!} \int_{0}^{1} {(1-x)^k F(x) \mbox{d}x } = a_{k + 1}}\)

Dla danego ciągu \(\displaystyle{ a_{k}}\) . Gdyby taka funkcja istniała, to możnaby generalizować elementy ciągu \(\displaystyle{ a_{k}}\) dla \(\displaystyle{ k \in \mathbb R}\). Okazało się jednak, że taka funkcja raczej nie istnieje i można tylko brać kolejne funkcje \(\displaystyle{ F_{n}(x)}\) takie, że powyższa własność zachodzi dla \(\displaystyle{ 0 \le k \le n}\). Aby uzyskać wzór, o którym piszę potrzebne jest jeszcze tylko jedno podstawienie \(\displaystyle{ c_{k} = \frac{a_{k}}{k!}}\) , trochę przekształceń i można brać limit z \(\displaystyle{ n}\) dążącego do nieskończoności.

Swoją drogą - wygląda na to, że najlepsze do przybliżeń jest \(\displaystyle{ n = 15}\) (na ogół daje ok. 7 miejsc po przecinku dobrych), choć wszelki błąd, jaki uzyskuję dla większych \(\displaystyle{ n}\) może pochodzić w większości od mojego komputera, przez co nie jestem w stanie określić, czy przybliżenia zbiegają do pewnej granicy, czy nie.

Ostatnia rzecz: jednym z plusów tej metody jest to, że często zdarza się, że przybliżenia, jakie daje ta metoda oscylują wokół właściwej wartości.