[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
pawelsuz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BK
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 40 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: pawelsuz » 3 mar 2009, o 18:11

2 dzien, przed, zadanie 2
Podstawmy
x=99
y=101
Wtedy
\(\displaystyle{ a=x+ \frac{1}{x} \\
b=y+ \frac{1}{y} \\
c=xy+ \frac{1}{xy} \\}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}-abc=(x+ \frac{1}{x})^{2}+(y+ \frac{1}{y})^{2}+(xy+ \frac{1}{xy})^{2} - (x+ \frac{1}{x})(y+ \frac{1}{y})(xy+ \frac{1}{xy})}\)
Po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymujemy wynik 4.-- 3 marca 2009, 18:19 --dzien 1, przed, zad 2

N poczatku stwierdzamy, ze K nie moze być większe od 4,a suma A i R większa niż 10. Biorąc to pod uwage otrzymujemy, że RAK=954
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

MagdaW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 760
Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z Lublina
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 177 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: MagdaW » 3 mar 2009, o 22:42

z.5, 2. dzień

\(\displaystyle{ 8z=3+2y ^{2}-x ^{2}}\)

1. \(\displaystyle{ y ^{2}\equiv0(mod8) \vee y ^{2}\equiv4(mod8) \Rightarrow x ^{2} \equiv3(mod8)}\)-sprzeczność

2.
\(\displaystyle{ y ^{2}\equiv1(mod8) \Rightarrow x ^{2}\equiv5(mod8)}\)-sprzeczność

-- 3 marca 2009, 22:48 --

z.1, 2. dzień

\(\displaystyle{ p=3 \Rightarrow p+10=13, p+20=23}\)-zgadza się
\(\displaystyle{ p>3 \Rightarrow p=3k+1 \vee 3k+2}\)
\(\displaystyle{ p=3k+1 \Rightarrow 3|(p+20)}\)
\(\displaystyle{ p=3k+2 \Rightarrow 3|(p+10)}\)
Ostatecznie p=3 to jedyne rozwiązanie.-- 3 marca 2009, 22:56 --Mecz, z. 4

Nie istnieje.

Niech dwa wierzchołki będą w punktach kratowych o współrzędnych: (a, b), (a+x, b). x- dł. boku trójkąta (jest całkowita, bo punkty mają współrzędne całkowite). Wówczas 3. wierzchołek będzie miał współrzędne: \(\displaystyle{ (a+0,5x, b+ \frac{x \sqrt{3} }{2} )}\). Druga współrzędna nie jest całkowita dla żadnego x całkowitego- nie istnieje trójkąt równoboczny o wszystkich wierzchołkach w punktach kratowych.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 444 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: timon92 » 4 mar 2009, o 12:57

MagdaW pisze:
Mecz, z. 4

Nie istnieje.

Niech dwa wierzchołki będą w punktach kratowych o współrzędnych: (a, b), (a+x, b). x- dł. boku trójkąta (jest całkowita, bo punkty mają współrzędne całkowite). Wówczas 3. wierzchołek będzie miał współrzędne: \(\displaystyle{ (a+0,5x, b+ \frac{x \sqrt{3} }{2} )}\). Druga współrzędna nie jest całkowita dla żadnego x całkowitego- nie istnieje trójkąt równoboczny o wszystkich wierzchołkach w punktach kratowych.
Nigdzie nie jest napisane, że jeden z boków jest równoległy do boków kratek.

Proponuję takie rozwiązanie: Z jednej strony pole naszego trójkąta jest liczbą niewymierną (\(\displaystyle{ \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}}\), gdzie a jest bokiem trójkąta). Z drugiej strony ze wzoru Picka (\(\displaystyle{ P=W+ \frac{B}{2}-1}\), gdzie W jest liczbą punktów kratowych wewnątrz wielokąta, a B jest liczbą punktów kratowych na brzegu wielokąta) jest ona wymierna. Sprzeczność.

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: Dumel » 4 mar 2009, o 13:40

a kto powiedział że bok trójkąta jest wymierny?

Awatar użytkownika
XMaS11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 6 mar 2008, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kielce
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 47 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: XMaS11 » 4 mar 2009, o 15:04

A po co ma byc wymierny ?:D \(\displaystyle{ a^2}\) jest całkowite.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: Sylwek » 4 mar 2009, o 15:16

Oczywiście, że (nie)wymierność \(\displaystyle{ a}\) nie jest przydatna w tym zadaniu. Rozwiązanie naszej drużyny (dokładnie to moje chyba było, ale to było już dawno temu ) było połowicznie podobne do rozwiązania timon92, tylko obeszliśmy się bez wzoru Picka.

Z Pitagorasa: \(\displaystyle{ a^2}\) jest całkowite, czyli pole \(\displaystyle{ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\) jest niewymierne, z drugiej strony ze wzoru na pole trójkąta wykorzystujące wyznacznik macierzy:
\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2} \ \cdot \ | \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{vmatrix} |}\)
otrzymujemy, że S jest wymierne - sprzeczność.

patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 32 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: patry93 » 4 mar 2009, o 20:33

2. dzień, spotkanie popołudniowe: zadanie 1.
Mam dość głupią prośbę - czy mógłby ktoś to narysować, bo ja chyba czytać ze zrozumieniem nie potrafię i dla mnie to zadanie nie jest jednoznaczne (wybieram sobie dowolne kąty, które niby spełniają warunki zadania i otrzymuję różne sumy... o_O).

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 444 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: timon92 » 4 mar 2009, o 20:52

teraz już chyba będzie wszystko jasne:

Przekątne niebieskie i zielona wychodzą z jednego wierzchołka, ponadto kąty między przekątnymi zieloną a niebieskimi są równe kątom między przekątnymi czerwoną a niebieskimi. Sumują się do \(\displaystyle{ 180^\circ}\), bo tworzą trójkąt.

patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 32 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: patry93 » 4 mar 2009, o 21:10

Dziękuję.
Czy te kąty będą równe na mocy cechy (bbb) przystawania trójkątów?
Każdy kolor odpowiada innej długości odcinka:

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 444 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: timon92 » 4 mar 2009, o 21:13

tak

pawelsuz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BK
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 40 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: pawelsuz » 5 maja 2009, o 15:44

Odkopię:)
1 dzien, przed, zad. 5
\(\displaystyle{ 9x^{2}-39x+40=y^{2} \ | \cdot 4 \\ 36x^{2}-156x+160=4y^{2} \\ (6x-13)^{2}-9=4y^{2} \\ (6x-2y-13)(6x+2y-13)=9=1 \cdot 9=3 \cdot 3}\)
Układy równań i mamy rozwiązania

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6923
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2617 razy
Pomógł: 687 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: mol_ksiazkowy » 4 wrz 2010, o 12:35

Dzien 5 zadanie 5
Jesli \(\displaystyle{ \begin{cases} a=xy\\b=x^2+y^2\end{cases}}\) to uzyska sie
\(\displaystyle{ \begin{cases} b^2-a^2=21\\b-a=3\end{cases}}\)
a wiec \(\displaystyle{ a=2, \ b=5}\), a układ \(\displaystyle{ \begin{cases} xy=2\\x^2+y^2=5\end{cases}}\)
ma rozwiazania \(\displaystyle{ x=1, \ y=2}\) lub \(\displaystyle{ x=2, \ y=1}\)
lub \(\displaystyle{ x=-1, \ y=-2}\) lub \(\displaystyle{ x=-2, \ y=-1}\)

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: Ponewor » 15 kwie 2013, o 10:19

Dzień 4. Zadanie 11.
Zadanie znalazło się w \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiązanych.
Dzień 4. Mecz Zadanie 11.:    
Ale skoro już tu jestem, to warto poprowadzić dalej te wykopki.
Dzień 1. Przedpołudnie Zadanie 6.:    
Dzień 2. Przedpołudnie Zadanie 3.:    
Dzień 2. Popołudnie Zadanie 4.:    
Dzień 2. Popołudnie Zadanie 5.:    
Dzień 2. Popołudnie Zadanie 7.:    
Dzień 3. Przedpołudnie Zadanie 1.:    
Dzień 3. Przedpołudnie Zadanie 3.:    

ODPOWIEDZ