[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
limes123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 666
Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ustroń
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 93 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: limes123 » 20 wrz 2008, o 12:50

Sylwek pisze:8. Znaleźć wszystkie wielomiany P(x), dla których zachodzi następująca tożsamość: \(\displaystyle{ (x-26)P(x)=xP(x-1)}\)
P(0)=0 => P(1)=0 => P(2) =>...=>P(25)=0 więc mamy
\(\displaystyle{ x(x-1)(x-2)...(x-26)Q(x)=x\cdot x(x-1)(x-2)...(x-25)Q(x-1)}\) => Q(25)=0 => \(\displaystyle{ x(x-1)...(x-25)^2(x-26)Q_1(x)=x^2(x-1)(x-2)...(x-25)^2Q_1(x-1)}\) => \(\displaystyle{ Q_1(25)=0}\) i widzimy, możemy tak postępować, az \(\displaystyle{ deg Q_n=0}\), czyli \(\displaystyle{ Q_n(x)=0}\) => P(x)=0. Moglby ktos sprawdzic czy to jest ok?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: andkom » 20 wrz 2008, o 23:40

limes123 pisze:Moglby ktos sprawdzic czy to jest ok?
Nie jest OK. Pomyliłeś się podczas podstawiania P(x-1) z prawej strony. Powinieneś dostać
\(\displaystyle{ x(x-1)(x-2)\cdots(x-26)Q(x)=x(x-1)(x-2)\cdots(x-25)(x-26)Q(x-1)}\)
Stąd Q jest wielomianem stałym, czyli
\(\displaystyle{ P(x)=ax(x-1)(x-2)\cdots(x-25)}\)

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: Grzegorz t » 21 wrz 2008, o 19:17

1 dzień spotkanie popołudniowe zad. 6
6. W dwóch naczyniach znajduje się odpowiednio m i n litrów roztworu o różnych stężeniach. Z obu naczyń odlano taką samą ilość roztworu. Następnie roztwór odlany z naczynia m-litrowego wlano do naczynia n-litrowego i podobnie odlany roztwór z naczynia n-litrowego wlano do naczynia m-litrowego. Okazało się, że stężenia obu roztworów wyrównały się. Ile litrów roztworu odlano z każdego naczynia?
\(\displaystyle{ x}\) - ilość odlanej objętości roztworu z pierwszego i drugiego naczynia
\(\displaystyle{ n-x}\) - tyle po odlaniu pozostało w pierwszym naczyniu
\(\displaystyle{ m-x}\) - tyle po odlaniu pozostało w drugim naczyniu
\(\displaystyle{ c_1, c_2}\) - stężenia badanych roztworów
\(\displaystyle{ K}\) - Końcowe stężenia roztworów już po zmieszaniu

\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{n}{100}=\frac{c_1\cdot x+c_2(n-x)}{K}\\\frac{m}{100}=\frac{c_2x+c_1(m-x)}{K}\end{cases}}\), po rozwiązaniu \(\displaystyle{ x=\frac{mn}{m+n}}\)

[ Dodano: 21 Września 2008, 19:43 ]
7.
Udowodnić, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta to |frac{a-b}{a+b}+frac{b-c}{b+c}+frac{c-a}{c+a}| leq frac{1}{8}
Przekształcamy lewą stronę nierówności do postaci:
\(\displaystyle{ \left|(a+c)(b+c)(a-b)+(a+b)(a+c)(b-c)+(a+b)(b+c)(c-a) \right| \leqslant 8 \left|(a+b)(b+c)(a+c) \right|}\).
Korzystając teraz z nierówności w trójkącie \(\displaystyle{ \begin{cases} \left|a+b \right|> \left| a-b\right| \\ \left| b+c\right|> \left| b-c\right|\\ \left|a+c \right| > \left| a-c\right| \end{cases}}\) otrzymamy
\(\displaystyle{ 3 \left|(a+b)(b+c)(a+c) \right| \leqslant 8 \left| (a+b)(b+c)(a+c)\right|}\), co jest prawdą.
Równość ma miejsce, gdy \(\displaystyle{ a=b=c}\) lub \(\displaystyle{ a=b\ne c, b=c\ne a, a=c\ne b}\).

Gierol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 12 lis 2006, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrowiec św.
Pomógł: 5 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: Gierol » 25 wrz 2008, o 18:03

Wlasnie wrocilem tegorocznych warsztatow. Pod wieczor zrobie temat i wrzuce zadania z meczu (druzyna sylwka przegrala ) oraz co ciekawsze z normalnych dni

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: Sylwek » 1 paź 2008, o 17:10

Grzegorz t pisze:Przekształcamy lewą stronę nierówności do postaci:
Źle przekształcone, poza tym ta nierówność nie jest taka prostacka .

@Gierol, Ty też byłeś w mojej drużynie, brakło jednej stereometrii zrobionej i by była niespodzianka


Troszkę rozruszamy ten temat:
Dzień 1., spotkanie przed, zadanie 7.
Mamy: \(\displaystyle{ |\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|=\ldots=\frac{|(a-b)(c-a)(c-b)|}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{|a-b|}{a+b} \cdot \frac{|b-c|}{b+c} \cdot \frac{|c-a|}{c+a}}\), ale z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ |a-b|<c, \ |b-c|<a, \ |c-a|<b}\), zatem:
\(\displaystyle{ \frac{|a-b|}{a+b} \cdot \frac{|b-c|}{b+c} \cdot \frac{|c-a|}{c+a}<\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leqslant \frac{abc}{2\sqrt{ab}2\sqrt{bc}2\sqrt{ca}}=\frac{1}{8}}\)
(w ostatniej nierówności użyłem 3x nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną).

Co należało dowieść (nawet wyszła nierówność ostra).

patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 32 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: patry93 » 26 lut 2009, o 16:05

Pozwólcie, że odkopię, ale jeszcze nie wszystkie zadanka zostały rozgryzione
Czy ma ktoś pomysł na zadanie 3 z 1 dnia (spotkanie popołudniowe) ?

Awatar użytkownika
XMaS11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 6 mar 2008, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kielce
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 47 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: XMaS11 » 26 lut 2009, o 16:22

Ja mam:
3. Pewną liczbę łuków danego okręgu pomalowano na czarno, przy czym suma długości tych łuków jest mniejsza od połowy obwodu tego okręgu. Udowodnić, że istnieje średnica tego okręgu o nie pomalowanych końcach.
Rozwiązanie:
Każdemu pomalowanemu łukowi na czarno przyporządkowujemy łuk, które jest symetryczny do niego względem środka okręgu i malujemy go na zielono.
Wtedy istnieją punkty ( na mocy tego, że suma długości czarnych łuków jest mniejsza niż pół obwodu.) które nie są ani czarne ani zielone, a z tego jak malowaliśmy wynika że każdy z tych punktów jest końcem średnicy o niepomalowanych końcach.

patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 32 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: patry93 » 26 lut 2009, o 17:51

Oł jes! Zrobiłem praktycznie tak samo!
Tzn. ja zrobiłem tak - poprowadźmy wszystkie średnice, których przynajmniej jeden koniec jest czarny. Jeśli jakieś końce tych średnic są na niepomalowanych punktach w okręgu, to malujemy je na niebiesko (hehe, dlaczego nie zielono ). Niech \(\displaystyle{ C \ i N}\) oznaczają odpowiednio zbiory punktów pomalowanych na czarno i niebiesko. Mamy \(\displaystyle{ N \le C < \frac{L}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ L}\) to długość obwodu okręgu. Wówczas \(\displaystyle{ N+C < \frac{L}{2} + \frac{L}{2} = L}\).
Teraz dla ułatwienia niech \(\displaystyle{ N \cup C = K}\). Wówczas \(\displaystyle{ \exists B, \ B' \notin K}\), że \(\displaystyle{ B'}\) jest odbiciem symetrycznym punktu \(\displaystyle{ B}\) względem środka okręgu z zadania.
Więc \(\displaystyle{ BB'}\) jest średnicą o niepomalowanych końcach.

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: Dumel » 26 lut 2009, o 19:26

dzień 2., spotkanie przedpołudniowe
zad. 4.
\(\displaystyle{ (n,2)=1}\) wiec
\(\displaystyle{ n|2^{\varphi (n)-1}}\)
\(\displaystyle{ \varphi (n)<n}\) wiec \(\displaystyle{ \varphi (n)|n!}\). ponadto \(\displaystyle{ x^a-1|x^b-1 \Leftrightarrow a|b}\) wiec \(\displaystyle{ n|2^{\varphi (n)-1}|2^{n!}-1}\)
dzień 4., mecz matematyczny
zad. 1.
oznaczmy wierzcholki czworoscianu przez A,B,C,D i umiescmy w nich masy jednostkowe. niech D' bedzie srodkiem ciezkosci trojkata ABC (a wiec srodkiem ciezkosci układu mas A,B,C). Środke ciezkosci A,B,C,D lezy na odcinku DD'. analogicznie srodek ciezkosci lezy na AA',BB',CC' wiec te proste są współpękowe

kp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 20 gru 2008, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpackie
Podziękował: 1 raz

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: kp » 27 lut 2009, o 16:18

Jak zrobić zadanie 7, dzień 2 spotkanie przedpołudniowe, chodzi mi o tę niewymierność.

MagdaW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 760
Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z Lublina
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 177 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: MagdaW » 27 lut 2009, o 17:05

Skorzystaj ze wzoru: \(\displaystyle{ a ^{3}-b ^{3}=(a-b)(a ^{2}+ab+b ^{2})}\) Przyjmij, że \(\displaystyle{ b= \sqrt[3]{2} \wedge a= \sqrt{3}+1}\)-- 28 lutego 2009, 15:48 --2. dzień, z.6 Obie strony są całkowite, więc x jest nieparzyste i całkowite,
\(\displaystyle{ 2x-x=1 \Rightarrow x=1}\)

patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 32 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: patry93 » 2 mar 2009, o 21:32

5. dzień, spotkanie przedpołudniowe, zadanie 7 - oprócz multum przypadków, jakieś pomysły?

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: Sylwek » 2 mar 2009, o 21:43

Jeśli wśród tych liczb występują trzy liczby mające różne reszty z dzielenia przez 3, to mamy tezę, jeśli nie, to z Dirichleta pewne trzy liczby dają taką samą resztę z dzielenia przez 3, więc tu również mamy tezę.

pawelsuz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BK
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 40 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: pawelsuz » 3 mar 2009, o 17:51

Sylwek pisze:
Troszkę rozruszamy ten temat:
Dzień 1., spotkanie przed, zadanie 7.
Mamy: \(\displaystyle{ |\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|=\ldots=\frac{|(a-b)(c-a)(c-b)|}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{|a-b|}{a+b} \cdot \frac{|b-c|}{b+c} \cdot \frac{|c-a|}{c+a}}\), ale z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ |a-b|<c, \ |b-c|<a, \ |c-a|<b}\), zatem:
\(\displaystyle{ \frac{|a-b|}{a+b} \cdot \frac{|b-c|}{b+c} \cdot \frac{|c-a|}{c+a}<\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leqslant \frac{abc}{2\sqrt{ab}2\sqrt{bc}2\sqrt{ca}}=\frac{1}{8}}\)
(w ostatniej nierówności użyłem 3x nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną).

Co należało dowieść (nawet wyszła nierówność ostra).
To zadanie jest w "krowie" Pawłowskiego. Rozwiązanie takie jak wzorcówka, tylko ja ciągle nie kumam tego przejscia z sumy w iloczyn:/ A Sylwek zrobił tam akurat trzy kropki:d

Awatar użytkownika
XMaS11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 6 mar 2008, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kielce
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 47 razy

[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

Post autor: XMaS11 » 3 mar 2009, o 18:05

Wymnóż to zrozumiesz

ODPOWIEDZ