Matematyka.pl

W jaki sposób mogę wyprowadzić wzór na pole powierzchni i objętość kuli bez użycia całek. Kiedyś widziałem jakiś sposób w podręczniku do szkoły średniej (lub nawet gimnazjum)

Metoda chyba ze średniowiecza lub antyku

Może będzie pomocne. Jeśli mówisz o tej metodzie



... eriego.pdf

U mnie w podręczniku do 3 klasy gimnazjum był podany wzór na objętość i z niego był wyznaczany wzór na pole. Po prostu podzielili kulę na ostrosłupy i zsumowali podstawy.

Pewnie nie o to Ci chodzi ale są wakacje i nie tylko dzieci się nudzą.

Wysokość półkuli o wartości R dzielę na n części płaszczyznami równoległymi do podstawy półkuli dostając n walców.
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}V_{kuli}= \lim_{n \to \infty } \left( \pi ( \sqrt{R^2-( \frac{R}{n} )^2})^2 \cdot \frac{R}{n}+\pi ( \sqrt{R^2-( 2 \cdot \frac{R}{n} )^2})^2 \cdot \frac{R}{n}+ \pi ( \sqrt{R^2-(3 \cdot \frac{R}{n} )^2})^2 \cdot \frac{R}{n}+.... )\right) =\\=
\lim_{ n\to \infty } \pi \frac{R}{n}\left( nR^2- \frac{R^2}{n^2}(1^2+2^2+3^2+...) \right) =
\lim_{ n\to \infty } \pi \frac{R^3}{n}\left( n- \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^2} \right) =\\=
\lim_{ n\to \infty } \pi \frac{R^3}{n} \cdot \frac{4n^2-3n-1}{6n} = \frac{2}{3} \pi R^3 \\
V_{kuli}=\frac{4}{3} \pi R^3}\)
Pewną słabością tego wyprowadzenia jest wzór na objętość walca, ale i ten można podobnie wyprowadzić.

Pole kuli można wyliczyć jak napisał RafalMajewskiPL:
\(\displaystyle{ P= \frac{V_{kuli}}{ \frac{R}{3} } =...}\)
lub trochę trudniejszą granicą.