Matematyka.pl

Cześć!

Uczę się robić zadania konkursowe i nie mogę sobie poradzić z zadaniami typu:

Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 9\underbrace{00...0}_{100 zer}6\underbrace{00...0}_{100 zer}1}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Czy liczba \(\displaystyle{ 1\underbrace{00...0}_{100 zer}1}\) jest pierwsza?

Czy mógłby ktoś dać mi wskazówkę, co do robienia takich zadań?

Dzięki!

Wiedz, z czym pracujesz, na przykład wybierz dobrą notację.

Zauważ, że liczbę tę można zapisać jak \(\displaystyle{ 9\cdot 10^{202}+6\cdot 10^{101}+1}\), a jeśli znasz wzór \(\displaystyle{ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\), to zauważysz, że to się równa \(\displaystyle{ (3\cdot 10^{101}+1)^2}\)

2.Musimy znaleźć pewien dzielnik liczby danej w zadaniu ( nastawiamy się, że taki istnieje, w przeciwnym wypadku ciężko byłoby udowodnić jego brak ). Otóż jest ona postaci \(\displaystyle{ 10^{101} + 1}\). Zbadaj reszte z dzielenia tej liczby przez \(\displaystyle{ 11}\), pamietając, że \(\displaystyle{ 10 \equiv - 1 \pmod {11}}\)