Iloczyn skalarny

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
mała193
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 237
Rejestracja: 3 sty 2007, o 14:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 63 razy

Iloczyn skalarny

Post autor: mała193 » 19 wrz 2007, o 22:19

Mam ogromną prośbe czy moze mi ktoś pokazać krok po kroku jak sie rozaiązuje takie zadanie
Dane są wektory
\(\displaystyle{ \vec{a}=[2,-3,4], \vec{b}=[1,0,1], \vec{c}=[2,-1,2]}\)
Obliczyć iloczyn skalarny wektorów\(\displaystyle{ 2\vec{a}-\vec{b},\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Iloczyn skalarny

Post autor: scyth » 19 wrz 2007, o 23:44

Najpierw obliczmy potrzebne wektory:
\(\displaystyle{ 2\vec{a}-\vec{b}=[4,-6,8]-[1,0,1]=[3,-6,7] \\
\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}=[2,-3,4]-[2,0,2]+[2,-1,2]=[2,-4,4]}\)

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów będzie:
\(\displaystyle{ [3,-6,7]\cdot
ft[\begin{array}{c}
2 \\
-4 \\
4 \\
\end{array}\right]=6+24+28=58}\)


Liczymy tak, ponieważ iloczyn skalarny wektorów równoległych to iloczyn ich długosci, natomiast dla wektorów prostopadłych wynosi 0.

mała193
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 237
Rejestracja: 3 sty 2007, o 14:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 63 razy

Iloczyn skalarny

Post autor: mała193 » 20 wrz 2007, o 20:39

Dzięki po raz kolejny za pomoc świetnie tłumaczysz. A skad wiadomo że te wektory są równoległe???? bo tego nie wiem;)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Iloczyn skalarny

Post autor: scyth » 21 wrz 2007, o 08:10

Może rozważmy ogólny przypadek (niech będzie tylko na płaszczyźnie - w n wymiarach będzie to samo).

Mamy dane dwa wektory postaci:
\(\displaystyle{ \vec{a}=[a_1,a_2]=a_1\vec{u}+a_2\vec{v} \\
\vec{b}=[b_1,b_2]=b_1\vec{u}+b_2\vec{v} \\}\)

gdzie \(\displaystyle{ \vec{u}, \ \vec{v}}\) to wektory jednostkowe na osiach współrzędnych (więc są nawzajem prostopadłe, a same do siebie równoległe). Iloczyn skalarny:
\(\displaystyle{ \vec{a} \vec{b}=(a_1\vec{u}+a_2\vec{v}) (b_1\vec{u}+b_2\vec{v}) = \\ =
a_1b_1\underbrace{\vec{u}\cdot\vec{u}}_{=1} +
a_1b_2\underbrace{\vec{u}\cdot\vec{v}}_{=0} +
a_2b_1\underbrace{\vec{v}\cdot\vec{u}}_{=0} +
a_2b_2\underbrace{\vec{v}\cdot\vec{v}}_{=1} = a_1b_1+a_2b_2}\)

Zatem jest to suma iloczynu po współrzędnych.

ODPOWIEDZ