Matematyka.pl

Witam mam tu dwa dość skomplikowane zadania z treścią z którymi mam problem. Od razu wielka prośba, aby napisać po kolei co robicie, bo chciałbym znaleźć błędy. Dziękuję z góry za rozwiązania.

1. Zaleźć pole górnego płata wyciętego se sfery \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=25}\)
walcem \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=25}\)

2. Dany jet graniastosłup o podstawie trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątna wynosi 2. Wysokość graniastosłupa = 3. Obliczyć momenty bezwładności względem płaszczyzny zawierającej ścianę prostokątna o długości boków 2 i 3.

ad 1.
Różniczka powierzchni to:
\(\displaystyle{ \mbox{d}S = \sqrt{1 + z_x'^2 + z_y'^2} \, \, \mbox{d}y = \frac{5 \, \, \mbox{d}y}{25 - x^2 - y^2}}\)
Wygodnie będzie przeprowadzić obliczenia we współrzędnych biedgunowych, wtedy:
\(\displaystyle{ S = \int\limits_0^{2 \pi} \mbox{d}\theta \int\limits_0^5 \frac{5 \rho \, \mbox{d}\rho}{\sqrt{25 - \rho^2}} = \ldots}\)
Teraz wystarczy podstawić i scałkować.

ad 2.
Należy zatem obliczyć moment bezwładności względem płaszczyzny, w której zawiera się wysokość graniastosłupa i jedna z przyprostokątnych. Niech tą płaszczyzną będzie np. płaszczyzna współrzędnych Oyz. Moment bezwładności wyrazi się poprzez (przy zał. o stałości gęstości bryły):
\(\displaystyle{ M_{yz} = \rho \int_V x^2 \, \mbox{d}V}\)
Teraz należy wykonać rysunek i ustalić granice całkowania.