Matematyka.pl

Ile jest liczb pięciocyfrowych, w których cyfra tysięcy jest mniejsza od cyfry setek, a cyfra setek jest mniejsza od cyfry dziesiątek?

Według mojego rozumowania powinienem wziąć pod uwagę \(\displaystyle{ 8}\) sytuacji gdzie cyfra tysięcy ma wartość od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 7}\).
NP:
\(\displaystyle{ 9 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 10 = 90}\) (cyfra tysięcy jest równa \(\displaystyle{ 7}\))
\(\displaystyle{ 9 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10 = 360}\) (cyfra tysięcy jest równa \(\displaystyle{ 6}\))
\(\displaystyle{ 9 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 10 = 810}\) (cyfra tysięcy jest równa \(\displaystyle{ 5}\))
...
...
...
\(\displaystyle{ 9 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 10 = 5760}\) (cyfra tysięcy jest równa \(\displaystyle{ 0}\))

Po dodaniu do siebie wyżej wymienionych iloczynów uzyskamy liczbę możliwości, która jest rozwiązaniem zadania (według mnie).

Jednak mam wątpliwość bo rozwiązanie w odpowiedziach w podręczniku to \(\displaystyle{ 7560}\) możliwości.

Czy mój tok rozumowania jest prawidłowy. Jeżeli nie to gdzie popełniłem błąd?

Liczyłem dwoma sposobami i zawsze wychodziło mi \(\displaystyle{ 9 \cdot {10\choose 3} \cdot 10}\).

rozpatrzę trzy środkowe cyfry
cyfra setek 8 - możliwości liczb jest \(\displaystyle{ 8\cdot1 = 8}\)
cyfra setek 7 - możliwości liczb jest \(\displaystyle{ 7\cdot2 = 14}\)
cyfra setek 6 - możliwości liczb jest \(\displaystyle{ 6\cdot3 = 18}\)
cyfra setek 5 - możliwości liczb jest \(\displaystyle{ 5\cdot4 = 20}\)
cyfra setek 4 - możliwości liczb jest \(\displaystyle{ 4\cdot5 = 20}\)
cyfra setek 3 - możliwości liczb jest \(\displaystyle{ 3\cdot6 = 18}\)
cyfra setek 2 - możliwości liczb jest \(\displaystyle{ 2\cdot7 = 14}\)
cyfra setek 1 - możliwości liczb jest \(\displaystyle{ 1\cdot8 = 8}\)
razem \(\displaystyle{ 120}\)
ostatecznie liczb pięciocyfrowych jest \(\displaystyle{ 9\cdot120\cdot10=10\,800}\)

czujka pisze:Liczyłem dwoma sposobami i zawsze wychodziło mi \(\displaystyle{ 9 \cdot {10\choose 3} \cdot 10}\).

Jakimi sposobami?

Pierwszy taki jak Twój, czyli na piechotę
Drugi taki bardziej na logikę. Pierwsza cyfra 1-9, trzy następne to \(\displaystyle{ {10 \choose 3}}\) i ostatnia cyfra 0-9.