ln

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
rkaminski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 8 maja 2005, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

ln

Post autor: rkaminski » 19 wrz 2007, o 21:42

Najpierw wstęp aby pokazać ideę. Mam funkcję ln zdefiniowaną tak:
\(\displaystyle{ \ln:\mathbb{R}_{+}\ni x\mapsto\ln x=\intop_{1}^{x}\frac{dt}{t}\in\mathbb{R}}\)
Potem definiuję funkcję exp tak:
\(\displaystyle{ \exp:\mathbb{R}\ni x\mapsto\exp x\in\mathbb{R}_{+}}\)
Wprowadzam oznaczenia, że \(\displaystyle{ \exp1=e}\) i \(\displaystyle{ \exp x=e^{x}}\). Definiuję też, że:
\(\displaystyle{ a^{x}=\exp\left(x\cdot\ln a\right)}\)
i
\(\displaystyle{ \log_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}}\)
Z tego oczywiście wszystkiego wynika, że:
\(\displaystyle{ \log_{e}x=y\Leftrightarrow e^{y}=x}\)

I teraz jak udowodnić następujące:
\(\displaystyle{ \ln x=\log_{e}x\Leftrightarrow\ln e=1}\)
Ja zrobiłem tak, że wyszedłem z definicji, czyli, że:
\(\displaystyle{ \log_{e}x=\frac{\ln x}{\ln a}}\)
Następnie z ostatniej zależności, czyli:
\(\displaystyle{ \exp\left(\frac{\ln x}{\ln e}\right)=x}\)
i na końcu coś takiego:
\(\displaystyle{ \left(\exp\left(\ln x\right)\right)^{\frac{1}{\ln e}}=x^{\frac{1}{\ln e}}=x\Rightarrow\frac{1}{\ln e}=1\Rightarrow\ln e=1}\)

Pytanie czy nie da się tego prościej, bo to mi się nie wydaje najprostrze i bardzo eleganckie... Z góry dzięki.

ODPOWIEDZ