Ekstremum funkcji dwóch zmiennych

[skibool]

witam , mam zabadac czy dana funkcja dwuch zmiennych ma ekstremum:)


\(\displaystyle{ Z=(x^2+y)\sqrt e^y}\)

_____
Temat poprawiony
bolo

[scyth]

\(\displaystyle{ Z(x,y)=(x^2+y)\sqrt{e^y}=e^{\frac{y}{2}}(x^2+y)}\)
pochone cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{\partial Z}{\partial x} = 2xe^{\frac{y}{2}} \\
\frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{1}{2}e^{\frac{y}{2}}(x^2+y+2) \\}\)
Przyrównujemy pochodne cząstkowe do zera aby znaleźć punkty stacjonarne - jedyny punkt podejrzany o bycie ekstremum to (0,-2).
Teraz musimy policzyć drugie pochodne:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} = 2e^{\frac{y}{2}} \\
\frac{\partial^2 Z}{\partial y^2} = \frac{1}{4}e^{\frac{y}{2}}(x^2+y+4) \\
\frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} = xe^{\frac{y}{2}} \\}\)
Liczymy hesjan w punkcie stacjonarnym:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c c|}
\frac{\partial^2 Z}{\partial x^2}(0,-2) & \frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y}(0,-2) \\
\frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y}(0,-2) & \frac{\partial^2 Z}{\partial y^2}(0,-2) \\
\end{array} =
\begin{array}{|c c|}
\frac{2}{e} & 0 \\
0 & \frac{1}{2e} \\
\end{array}
= \frac{2}{e} \cdot \frac{1}{2e} = \frac{1}{e^2} > 0}\)
Zatem mamy w tym punkcie ekstremum.
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2}(0,-2) = \frac{2}{e} > 0}\) to jest to minimum lokalne.