Ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
skibool
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 8 gru 2006, o 19:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ropczyce
Podziękował: 3 razy

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Post autor: skibool » 19 wrz 2007, o 21:32

witam , mam zabadac czy dana funkcja dwuch zmiennych ma ekstremum:)


\(\displaystyle{ Z=(x^2+y)\sqrt e^y}\)

_____
Temat poprawiony
bolo
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2007, o 21:35 przez skibool, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Post autor: scyth » 19 wrz 2007, o 23:16

\(\displaystyle{ Z(x,y)=(x^2+y)\sqrt{e^y}=e^{\frac{y}{2}}(x^2+y)}\)
pochone cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{\partial Z}{\partial x} = 2xe^{\frac{y}{2}} \\
\frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{1}{2}e^{\frac{y}{2}}(x^2+y+2) \\}\)

Przyrównujemy pochodne cząstkowe do zera aby znaleźć punkty stacjonarne - jedyny punkt podejrzany o bycie ekstremum to (0,-2).
Teraz musimy policzyć drugie pochodne:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} = 2e^{\frac{y}{2}} \\
\frac{\partial^2 Z}{\partial y^2} = \frac{1}{4}e^{\frac{y}{2}}(x^2+y+4) \\
\frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} = xe^{\frac{y}{2}} \\}\)

Liczymy hesjan w punkcie stacjonarnym:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c c|}
\frac{\partial^2 Z}{\partial x^2}(0,-2) & \frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y}(0,-2) \\
\frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y}(0,-2) & \frac{\partial^2 Z}{\partial y^2}(0,-2) \\
\end{array} =
\begin{array}{|c c|}
\frac{2}{e} & 0 \\
0 & \frac{1}{2e} \\
\end{array}
= \frac{2}{e} \cdot \frac{1}{2e} = \frac{1}{e^2} > 0}\)

Zatem mamy w tym punkcie ekstremum.
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2}(0,-2) = \frac{2}{e} > 0}\) to jest to minimum lokalne.

ODPOWIEDZ