kilka zadań z przestrzeni topologicznych

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
rotie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 2 sty 2006, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 9 razy

kilka zadań z przestrzeni topologicznych

Post autor: rotie » 19 wrz 2007, o 21:17

We Wszystkich zad. rozważamy zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) z naturalną topologią.

1. Które z aksjomatów oddzielania (T1-T4) i przeliczalności (AI - AII) spełnia przestrzeń topologiczna antydyskretna (banalna) \(\displaystyle{ X}\).

Zakładamy, że \(\displaystyle{ \# X \geqslant 2}\)


2. Udowodnij, że przestrzeń metryczna dyskretna spełnia aksjomat oddzielnia T4

3. Który z ciągów jest ciągiem Cauchy'ego

a) \(\displaystyle{ a_{n} = (-1)^n}\)
b) \(\displaystyle{ b_{n}= \frac{n+1}{n^2+1}}\)
c) \(\displaystyle{ c_{n} = \frac{n^2 + 1}{n+1}}\)
d) \(\displaystyle{ d_{n} = (\frac{n+1}{n})^{n}}\)

4. Który ze zbiorów jest otwarty w \(\displaystyle{ \RR}\):
\(\displaystyle{ \ZZ}\)
\(\displaystyle{ \RR-\ZZ}\)
\(\displaystyle{ \QQ}\)
\(\displaystyle{ \RR-\QQ}\)

5. Który z powyższych zbiorów jest ośrodkiem w \(\displaystyle{ \RR}\)?

6. Wykazać że suma i iloczyn dwóch dowolnych ciągów Cauchy'ego w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR}\) są ciągami Cauchy'ego

7. Wykazać, że przestrzeń \(\displaystyle{ \RR}\) z naturalną topologią spełnia I i II aksjomat przeliczalności tj wskazać przeliczalną bazę topologii oraz przeliczalną bazę otoczeń dowolnie ustalonego punktu.

8. Które z odwzorowań \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) jest homeomorfizmem

\(\displaystyle{ f_{1}(x)=e^x}\)
\(\displaystyle{ f_{2}(x)=x+e^x}\)
\(\displaystyle{ f_{3}(x)=x\cdot e^x}\)

9. Które z odwzrowań \(\displaystyle{ g: \RR \rightarrow \RR}\) jest izometrią:
\(\displaystyle{ g_{1}=2x}\)
\(\displaystyle{ g_{2}=x^2}\)
\(\displaystyle{ g_{3}=x+2}\)


10. Które z odwzorowań \(\displaystyle{ h: \RR\to\RR}\) jest ciągłe?
\(\displaystyle{ h_1(x)= sgn{x}}\)
\(\displaystyle{ h_2(x)= x + sgn{x}}\)
\(\displaystyle{ h_3(x)= x\cdot sgn{x}}\)

gdzie \(\displaystyle{ sgn{x}=\left\{\begin{array}{l}1 \ dla \ x > 0\\0 \ dla \ x=0\\-1 \ dla \ x<0\end{array}\right.}\)

Wszystkie zadania z uzasadnieniem ;)

Dziękuję z góry za pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

kilka zadań z przestrzeni topologicznych

Post autor: liu » 10 paź 2007, o 11:12

3,6 -> powtorka z podstaw Analizy I.

9. Wiesz co to jest izometria?

8. Wiesz co to jest homeomorfizm? Wiesz co to jest bijekcja? Dalej analiza I.

10. Powtorka z analizy I.

4. Zrob rysunek. Przeczytaj, co to jest zbior otwarty. Przypomnij sobie z analizy 1 takie rzeczy jak np. to, ze w kazdym przedziale jest nieskonczenie wiele liczb wymiernych i niewymiernych.

5. Chodzi o to, ze domkniecie to cala przestrzen?

7. Przypomnij sobie, jak na wstepie do matematyki wykazywalo sie, ze dowolna rodzina parami rozlacznych przedzialow otwartych jest co najwyzej przeliczalna.

2. Wez definicje przestrzeni T4, potem popatrz jak wygladaja kule i zbiory domkniete w przestrzeni z metryka dyskretna.

1. Przeczytaj definicje przestrzeni T_1, ..., T_4 i aksjomaty prezliczalnosci, a potem sprawdzaj (na poczatku moze na prostych przykladach).

ODPOWIEDZ