pole obszaru ograniczonego krzywymi

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
sqnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 19 wrz 2007, o 19:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

pole obszaru ograniczonego krzywymi

Post autor: sqnek » 19 wrz 2007, o 21:08

Witam,
Mam za zadanie obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi i narysować ten obszar. Proszę o pomoc krok po kroku jak to obliczyć. Za wszelką pomoc dzięki!


\(\displaystyle{ y=\tan x\}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom
Podziękował: 311 razy
Pomógł: 5 razy

pole obszaru ograniczonego krzywymi

Post autor: qaz » 19 wrz 2007, o 21:50

rysunek


nie wyświetla, czyli odsyłam tu:obrazek

sqnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 19 wrz 2007, o 19:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

pole obszaru ograniczonego krzywymi

Post autor: sqnek » 20 wrz 2007, o 12:21

Prosiłbym o jakieś obliczenia i objaśnienia, bo to chyba nie koniec zadania

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

pole obszaru ograniczonego krzywymi

Post autor: Amon-Ra » 20 wrz 2007, o 12:42

\(\displaystyle{ P=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x}{\cos x}dx}\)

Zauważasz pewien fakt, obliczasz funkcję pierwotną, liczysz różnicę jej wartości dla odpowiednich granic i gotowe.

sqnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 19 wrz 2007, o 19:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

pole obszaru ograniczonego krzywymi

Post autor: sqnek » 20 wrz 2007, o 13:15

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x}{\cos x}dx}\)

czyli teraz wyliczam sobie poprostu tę całkę(nie wiem czy dobrze)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x}{\cos x}dx=\frac{\cos x \cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^{2} x}=\frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x}=\frac{1}{cos^{2} x}}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

pole obszaru ograniczonego krzywymi

Post autor: luka52 » 20 wrz 2007, o 14:25

sqnek, obliczając całkę oznaczoną powinniśmy otrzymać liczbę, a nie wyrażenie ze zmienną x.

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

pole obszaru ograniczonego krzywymi

Post autor: Amon-Ra » 20 wrz 2007, o 14:41

Sqnek, czegoś takiego jeszcze nie widziałem .

Licznik jest ujemną pochodną mianownika, zatem pisząc formalnie:

\(\displaystyle{ \int\frac{\sin x}{\cos x}dx=\left|\begin{array}{l}t=\cos x \\ dt=-\sin x dx \\ \sin x dx=-dt\end{array}\right|=-\int\frac{dt}{t}=-\ln |t|+C=-\ln|\cos x| + C}\)

Wynikiem obliczenia całki oznaczonej będzie:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan x dx=\left[ -\ln|\cos x |\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\ln\left|\frac{\cos 0}{\cos\frac{\pi}{4}}\right|=\ln ft|\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right|=\ln\frac{2}{\sqrt{2}}=\ln\sqrt{2}\approx 0,346574}\)

sqnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 19 wrz 2007, o 19:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

pole obszaru ograniczonego krzywymi

Post autor: sqnek » 20 wrz 2007, o 16:43

Wiem, wiem jestem najlepszy
Tak poważnie to ogromne dzięki i czy z takimi współrzędnymi robie to samo?
\(\displaystyle{ y^{2}=4x}\)
\(\displaystyle{ y= 2x^{2}}\)
Bo tutaj jest jakoś inaczej
pozdr

ODPOWIEDZ