Matematyka.pl

Jestem nowy na forum więc przydałoby się przywitać: Witam wszystkich!
Mam problem z tymi dwiema całkami, nie wiem nawet jak się za nie zabrać
Prosiłbym o pełne rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \int\frac{x^{2}+6}{x^{3}+x}dx}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{x+1}{(x+2)(x-1)^{2}}dx}\)


Z góry dzięki!
Pozdrawiam

W pierwszej kolejności rozkład na ułamki proste.

\(\displaystyle{ \int\frac{x^{2}+6}{x(x^{2}+1)}dx}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{x+1}{(x+2)(x-1)(x+1)}dx}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{x^{2}+6}{x(x^{2}+1)}dx=6\int \frac{dx}{x}-5\int \frac{xdx}{x^2+1}\\
t \frac{xdx}{x^2+1}\\
x^2=t\\
xdx=\frac{dt}{2}\\
\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t+1}=\frac{1}{2}ln|t+1|=\frac{1}{2}ln(x^2+1)\\
\\
t\frac{x^{2}+6}{x^{3}+x}dx =6ln|x|-\frac{5}{2}ln(x^2+1)}\)

Drugie :
\(\displaystyle{ \int\frac{x+1}{(x+2)(x-1)(x+1)}dx=
t\frac{dx}{(x+2)(x-1)}=
t\frac{dx}{x^2+x-2}=
t\frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4}}\\
x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}t\\
dx=\frac{3}{2}dt\\
\frac{3}{2} t\frac{dt}{\frac{9}{4}(t^2-1)}=
\frac{2}{3} t\frac{dt}{(t-1)(t+1)}=...}\)


POZDRO

Czy mógłbyś mi wytłumaczyć jak przerobiłeś to wyrażenie:

\(\displaystyle{ \int\frac{x^{2}+6}{x(x^{2}+1)}dx=6\int \frac{dx}{x}-5\int \frac{xdx}{x^2+1}\\
t \frac{xdx}{x^2+1}\\}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+6}{x(x^{2}+1)}= \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}\\
x^2+6=Ax^2+A+Bx^2+Cx\\
x^2+6=x^2(A+B)+Cx+A\\
\begin{cases} A+B=1\\C=0\\A=6\end{cases}\\
\begin{cases} B=1-A\\C=0\\A=6\end{cases}\\
\begin{cases} A=6\\B=-5\\C=0\end{cases}\\
\frac{x^{2}+6}{x(x^{2}+1)}=\frac{6}{x}+\frac{-5x}{x^2+1}}\)

POZDRO