Matematyka.pl

witam mam problem z tym zadaniem otóż:
dla liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, r}\) oraz liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) niech \(\displaystyle{ s_{n} = a + ar +...+ ar^{n}}\).
wykaż, że \(\displaystyle{ rs_{n} - s_{n} = a(r^{n+1}-1)}\)
i wydedukuj, że:
\(\displaystyle{ \left| s _{n} - \frac{a}{1-r} \right| = \left| \frac{r ^{n+1} }{1-r} \right|}\)
dla\(\displaystyle{ r \neq 1}\)
dla \(\displaystyle{ \left|r\right| < 1}\) wydedukuj, że \(\displaystyle{ s_{n} \rightarrow \frac{a}{1-r}}\) gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)

\(\displaystyle{ s_{n} = a + ar +...+ ar^{n}\\ rs_n=ar+ar^2+\dots+ar^{n+1}}\)
Odejmujemy tę pierwszą równość stronami od drugiej i zauważ, że wyrazy do \(\displaystyle{ ar}\) aż po \(\displaystyle{ ar^n}\) się po prostu skrócą, zostaje
\(\displaystyle{ rs_n-s_n=ar^{n+1}-a=a(r^{n+1}-1) \ (*)}\)
a co do tej równości z modułem, to po prostu wylicz \(\displaystyle{ s_n}\) z równości \(\displaystyle{ (*)}\) i wstaw to do \(\displaystyle{ \left| s_n-\frac{a}{1-r}\right|}\)
Jeszcze taka uwaga, że \(\displaystyle{ r\neq 1}\).
Pozostaje skorzystać z tego, że gdy \(\displaystyle{ |r|<1}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}|r|^{n+1}=0}\) (to umiesz wykazać? to jest proste) oraz z arytmetyki granic i z definicji granicy.
W razie dalszych problemów pisz, a najlepiej pokaż jak to "kończysz", to ocenimy poprawność i ewentualnie skorygujemy.

dzięki wielkie zamykam temat