Matematyka.pl

Cześć!

Mam taki szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} 3^{k} \cdot (n-k)}\)

Zastanawiam się w jaki sposób przekształcić taki szereg w wyrażenie arytmetyczne zależne od n?

Z góry dzięki za pomoc!

\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} 3^{k} \cdot (n-k)=\sum_{k = 0}^{n} 3^{n-k} \cdot k=3^n \sum_{k=0}^{n}3^{-k} \cdot k}\)
zaś tę sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}3^{-k} \cdot k}\)
można policzyć metodą zaburzania sum. Oznaczmy \(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=0}^{n}3^{-k} \cdot k}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ \frac 1 3 S_n= \sum_{k=0}^{n}3^{-k-1} \cdot k=\\= \sum_{k=0}^{n}3^{-(k+1)}\cdot (k+1-1)=\\=\sum_{k=0}^{n}3^{-(k+1)}\cdot(k+1)- \sum_{k=0}^{n}3^{-(k+1)}=S_{n+1}- \sum_{k=1}^{n+1}\left( \frac 1 3\right)^k}\)
ale przecież \(\displaystyle{ S_{n+1}=S_n+(n+1)3^{-(n+1)}}\)
więc otrzymujesz
\(\displaystyle{ \frac 1 3 S_n=S_n+(n+1)3^{-(n+1)}-\sum_{k=0}^{n}3^{-(k+1)}}\)
a stąd możesz wyliczyć \(\displaystyle{ S_n}\)
Aha, oczywiście \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}3^{-(k+1)}}\)
zwijasz ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

To nie jest szereg.

Premislav pisze:\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} 3^{k} \cdot (n-k)=\sum_{k = 0}^{n} 3^{n-k} \cdot k}\)

Jedyne przekształcenie którego do końca nie rozumiem. Mógłby ktoś rozwinąć?

Po prostu odwróciłem kolejność sumowania.
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} 3^{k} \cdot (n-k)=\\=3^0 \cdot (n-0)+3^1\cdot(n-1)+\dots+3^{n-1}\cdot(n-(n-1))+3^n\cdot (n-n)=\\=3^n\cdot(n-n)+3^{n-1}\cdot(n-(n-1))+\dots+3^1\cdot(n-1)+3^0\cdot n=\\=\sum_{k = 0}^{n} 3^{n-k} \cdot k}\)

Nie lubię tych wielokropków, ale tak najłatwiej jest pokazać, na jakiej zasadzie się to odbywa. To nic subtelnego, to tak jakbym zapisał \(\displaystyle{ 3+2+1}\) zamiast \(\displaystyle{ 1+2+3}\), tylko w notacji sumacyjnej z sigmą.
Może warto tu dodać, że, jak słusznie zwrócił uwagę a4karo, to, że tutaj się pojawia znak sigmy, nie oznacza, że mamy do czynienia z szeregiem (to ogólne oznaczenie sumy).
Notacja z sigmą została pokrótce omówiona np. czy też .