20 zadań z czworokątów.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Jrewiens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 19 wrz 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

20 zadań z czworokątów.

Post autor: Jrewiens » 19 wrz 2007, o 20:06

Pragnę prosić o pomoc w rozwiązaniu 20 zadań z czworokątami w roli głównej. Nie są to zadania z żadnego sprawdzianu, ale powiedzmy z szkolnego zbioru zadań. Przygotowuję się do sprawdzianu który mam niedługo i chcę potrafić rozwiązać zadania, które mam podane. Część jest łatwa, część trudniejsza, niektóre potrafię rozwiązać sam, inne nie.

W każdym razie proszę Was o możliwie szybką pomoc i jasne pisanie z czego korzystacie. [tw. Eulera, Ptolemeusza, sinusów, cosinusów, Brahmagupty, Talesa].

Proszę również o numerowanie zadania które rozwiązaliście.


1. Obliczyć pole rombu o boku długości a, którego symetralne boków dzielą jedną z jego przekątnych na trzy odcinki przystające.

2. Obliczyć pole, obwód i miarę kąta między przekątnymi równoległoboku ABCD, w którym AB=BD=a, AC=2a.

3. W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta BAD i ma długość 12, \(\displaystyle{ |\angle BAC|=30}\) stopni, BC=10. Obliczyć pole trapezu.

4. Obliczyć miarę kąta między przekątnymi trapezu równoramiennego o podstawach długości 8 i 10 oraz wysokości 3.

5. Obliczyć pole trapezu ABCD w kórym pole trójkąta ABO wynosi S1, pole trójkta CDO jest równe S2, gdzie O jest punktem przecięcia się przekątnych.

6. W trapezie ABCD, w którym AB=a, DC=b, BC=c, AD=d, przedłużenie boków AD i BC przecięły się w punkcie O. Oblicz pole trapezu i trójkąta DCO.

7. Obliczyć długości boków czworokąta opisanego na okręgu, o obwodzie 48, którego trzy kolejne boki są w stosunku 1:2:3.

8. Obliczyć długość odcinka łączącego środki ramion trapezu opisanego na okręgu, o obwodzie 52.

9. Obliczyć pole koła wpisanego w trapez równoramienny o boku długości 10, gdy jedna z jego podstaw ma długość 4 razy większą od drugiej podstawy.

10. Obliczyć pole trapezu i cosinusy kątów trapezu równoramiennego o obwodzie 20 i przekątnej długości \(\displaystyle{ \sqrt{41}}\) opisanego na okręgu.

11. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 6 i 2, a jego kąt ostry ma miarę 60 stopni. Obliczyć odległości punktu przecięcia się przekątnych od prostych zawierających jego boki.

12. W okrąg wpisano czworokąt ABCD, którego kąty przy wierzchołkach A, B, C mają się do siebie jak 5:7:9. Wyznacz kąt przy wierzchołku D.

13. Wyznaczyć kąty czworokąta wpisanego w okąg wiedząc, że przedłużenie przeciwległych boków przecinają się tworząc kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\).

14. W okrąg o promieniu O wpisano czworokąt ABCD. Wyznaczyć jego kąty, kąty między jego przekątnymi i kąty utworzone przez boki przeciwległe wiedząc że \(\displaystyle{ |\angle AOB|=120}\)stopni\(\displaystyle{ =|\angle BOC|=3|\angle COD|}\)

15.Boki czworokąta ABCD wpisano w okrąg o promieniu 1 mają długość AB=2, BC=\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), CD = 1. Obliczyć AD.

16. W okrąg o promieniu długości pierwiastek z 7 jest wpisany czworokąt ABCD w którym AB=AD, \(\displaystyle{ |\angle BCD|=120}\) stopni i stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta ACD wynosi 1/2. Obliczyć obwód czworokąta.

17. W kwadracie ABCD o boku 1 punkt E jest środkiem CD. Obliczyć pola figur, na które przekątne kwadratu rozcinają czworokąt ABCE.

18. W czworokącie niewypukłym boki są parami przystające, a liczba c jest długością krótszego z nich. Jeden z kątów ma miarę 30 stopni, a drugi 300 stopni. Obliczyć pole czworokąta.

19. Punkt P należący do wnętrza kąta 60 stopni ma odległości od ramion równe a i b. Obliczyć odległość P od wierzchołka kąta.

20. Na boku AC trójkąta ABC dany jest punkt D taki, że AB=CD =1, \(\displaystyle{ |\angle ABD|=90}\) stopni i \(\displaystyle{ |\angle CBD|=30}\) stopni. Obliczyć długość odcinka AD.


Z góry bardzo dziękuję.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Vixy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1830
Rejestracja: 3 lut 2006, o 15:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z gwiazd
Podziękował: 302 razy
Pomógł: 151 razy

20 zadań z czworokątów.

Post autor: Vixy » 19 wrz 2007, o 22:35

zad 4

z tw. pitagorasa mozna obliczyc długosc ramienia trapezu

\(\displaystyle{ 3^2+1=b^2}\)
\(\displaystyle{ b=\sqrt{10}}\) =< tyle wynosi dlugosc ramienia


z tw. pitagorasa licze dlugosc przekatnej


\(\displaystyle{ 3^2+9^2=d^2}\)
\(\displaystyle{ d=3\sqrt{10}}\) ==< tyle wynosi dlugosc przekatnej trapezu


skorzystam z podobienstwa trójkatow , w celu obliczenia wysokosci kazdego z tych trojkatow

x-wysokosc trojkata w ktorym podstawa wynosi 8
y-wysokosc trojkata w ktorym podstawa wynosi 10

\(\displaystyle{ x+y=3}\)
\(\displaystyle{ y=3-x}\)

\(\displaystyle{ \frac{8}{x}=\frac{10}{y}}\)
\(\displaystyle{ 8y=10x}\)


\(\displaystyle{ 8(3-x)=10x}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{4}{3}}\)

wysokosci trojkatow wynosza \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\) , \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\)

teraz ponownie korzystam z tw. pitagorasa w celu obliczenia dlugosc tych czesci na jakie przekatna zostala podzielona


\(\displaystyle{ (\frac{4}{3})^2+4^2=a^2}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{4\sqrt{10}}{3}}\)

druga czesc wynosi \(\displaystyle{ \frac{4\sqrt{10}}{3}}\)


teraz skorzystam z tw. cosinusow w celu obliczenia tych katow


\(\displaystyle{ 10=\frac{250}{9}+\frac{160}{9}-2*\frac{5\sqrt{10}}{3}*\frac{4\sqrt{10}}{3}*cos\beta}\)



\(\displaystyle{ 100=\frac{250}{9}+\frac{250}{9}-2*\frac{5\sqrt{10}}{3}*\frac{5\sqrt{10}}{3}*cos\alpha}\)

[ Dodano: 19 Września 2007, 23:46 ]
zad 9

skorzystam z warunku wpisywalnosci okregu w trapez


a,b podstawy
c ramie

a+b=2c

podstawa krotsza wynosi x natomiast dluzsza 4 x

20=5x
x=4

potrzebny jest promien ktory łatwo wyliczyc z tw. pitagorasa bo h=2r

\(\displaystyle{ h^2=6^2+10^2}\)

ODPOWIEDZ