Splatanie funkcji

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Splatanie funkcji

Post autor: sigma_algebra1 » 20 wrz 2007, o 20:26

Coz, wybitnie nie lubie takich zadan ;) i dawno ich nie robiłam więc może czegos fajnego nie widzę, no ale moze tak:

Można to zrobić zapewne przez ten wzór o funkcjach odwrotnych, który podałaś, tam może trzeba rozłożyć obszar żeby była bijekcja. Choc to wygląda na nieco żmudne... Może jakoś tez pociągnąc temat zauważając, że można przejść na rozkład gamma i pracować na sumie..tylko tam trzeba cos calkowac..hm... No ale może spróbujmy tak, mam nadzieję, że czegoś nie pokręcę :???: :

Mamy:

\(\displaystyle{ X \sim N(0,{\sigma}^2)}\), Y ma rozkład taki sam i sa one niezależne, wtedy
\(\displaystyle{ X_1=\frac{X}{\sigma}\sim N(0,1)}\) , podobnie dla Y otrzymujemy zmienną \(\displaystyle{ Y_1}\), czyli normujemy obie zmienne

Teraz wiadomo, że dla niezależnych zmiennych \(\displaystyle{ X_1}\), \(\displaystyle{ Y_1}\) o standardowym rozkładzie normalnym, zmienna następująca ma rozkład chi-kwadrat o 2 stopniach swobody:

\(\displaystyle{ T=X_1^2+Y_1^2}\)

Wiemy też , że :
\(\displaystyle{ T=\frac{U^2}{{\sigma}^2}}\)

Dalej dla u>0 badamy dystrybuante:

\(\displaystyle{ P(U\leqslant u)=P(U^2\leqslant u^2)=P(\frac{U^2}{{\sigma}^2}\leqslant \frac{u^2}{{\sigma}^2})=P(T\leqslant \frac{u^2}{{\sigma}^2})=F_T(\frac{u^2}{{\sigma}^2})}\)

\(\displaystyle{ f_U(u)=\frac{2u}{{\sigma}^2}f_T(\frac{u^2}{{\sigma}^2})}\)

I tutaj miła wiadomość , bo rozkład chi-kwadrat o dwóch stopniach swobody to rozkład gamma(\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\),1), czyli już powszechnie znany rozgład wykładniczy o \(\displaystyle{ \alpha=\frac{1}{2}}\)
a więc gęstość \(\displaystyle{ f_T}\) to gęstość takiego rozkładu wykładniczego

Fajnie gdyby ktoś to jednak sprawdził ...

[ Dodano: 20 Września 2007, 23:10 ]
Jesli powyższe obliczenia są poprawne i wyliczy sie ostatnia gestosc to oznacza ze U ma rozkład Weibulla gdzie \(\displaystyle{ \alpha=2, \beta=\sqrt{2}\sigma}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ