Splatanie funkcji

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
zeeloony
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 26 razy

Splatanie funkcji

Post autor: zeeloony » 19 wrz 2007, o 19:40

Witam, od razu przepraszm, ale nie wiem czy to odpowiedni dział, przed chwilą widziałam, jak ktoś dał zadanie tego typu w tym dziale, dlatego ja daje je też tutaj.

Chciałam zapytać o sposób postępowania w przypadku zadań typu "spleć funkcje". W książce od statystyki znalazłam zadanie w którym, aby dojść do wyniku finalnego należy "spleść funkcje", ale nie wiem jak to zrobić.

\(\displaystyle{ f_{XY}(x,y) = \frac{1}{2}}\)
Gęstość zmiennej (splotu) (U,V) wyznaczam ze wzoru
\(\displaystyle{ f_{UV}(u,v) = f_{XY}(x(u,v),y(u,v)) ft| J_{h^{-1}} \right|}\),
gdzie przekształceniem \(\displaystyle{ h}\) jest
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} U=X+Y \\ V=X-Y \end{array}}\),
przekształceniem odwrotnym \(\displaystyle{ h^{-1}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} X= \frac{U+V}{2} \\ Y= \frac{U-V}{2} \end{array}}\),
a \(\displaystyle{ J_{h^{-1}}}\) jakobianem tego przekształcenia, czyli
\(\displaystyle{ J_{h^{-1}} = ft| \begin{array}{cc} \frac{\partial X}{\partial U} & \frac{\partial X}{\partial V} \\ \frac{\partial Y}{\partial U} & \frac{\partial Y}{\partial V} \\ \end{array} \right|$.}\)

tyle znalazłam w podręczniku (definicje) ale nie wiem jak je zastosować w praktyce....

sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Splatanie funkcji

Post autor: sigma_algebra1 » 19 wrz 2007, o 19:59

No i to co obliczysz podstawiasz do wyjściowej gęstości:

\(\displaystyle{ f_{(U,V)}(u,v)=f_{(X,Y)}(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2})\frac{1}{2}}\)

Uwaga: Ta pierwsza gęstość jest "niekompletna", chyba czegos zabrakło, choćby obszaru na którym to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest przyjmowana, czy tak?

zeeloony
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 26 razy

Splatanie funkcji

Post autor: zeeloony » 19 wrz 2007, o 20:04

zgadza się, obszarem wyznaczony jest przez |y|+|x| < 1 czy to coś zmienia ??

sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Splatanie funkcji

Post autor: sigma_algebra1 » 19 wrz 2007, o 21:03

W samym podstawieniu nic nie zmienia, bo tam gęstość (X,Y) powinna być podstawiona jako indykator tego zbioru,

tylko trzeba wyznaczyc obszar (u,v) dla których ta nowa gęstość jest osiągana czyli podstawić obliczone wartości ((u+v)/2,(u-v)/2) również do nierówności

|x|+|y|

zeeloony
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 26 razy

Splatanie funkcji

Post autor: zeeloony » 19 wrz 2007, o 21:28

nie wiem czy dobrze to robię ale wychodzi mi kwadrat o bokach 2x2 jako ten obszar osiągalny przez (u,v) czy to o to chodzi ??

sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Splatanie funkcji

Post autor: sigma_algebra1 » 19 wrz 2007, o 21:43

Dokładnie , kwadrat o środku w początku układu współrzędnych i bokach równoległych do osi (czy tam prostopadlych jak kto woli ) i długości boku 2 Pozdrawiam

[ Dodano: 19 Września 2007, 21:47 ]
Oczywiście poza tym obszarem gęstośc jest równa 0.

zeeloony
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 26 razy

Splatanie funkcji

Post autor: zeeloony » 20 wrz 2007, o 15:41

przepraszam ale jak powinna wyglądać odpowiedź do tego zadania... nowa funkcja to f(u,v) = ??

\(\displaystyle{ f_{(U,V)}(u,v)=f_{(X,Y)}(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2})\frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ -2}\)

sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Splatanie funkcji

Post autor: sigma_algebra1 » 20 wrz 2007, o 17:57

Przepraszam nie zauważyłam tego pytania ;)
Będzie to:

Kwadrat o boku 2 --->czyli x i y zmieniają się od -1, do 1 (to jest nowy obszar)

Dalej należy podstatwić do gęstości (X,Y)!, a przecież to jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), na "kopniętym" kwadracie, więc nowa gęstość to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), bo jakobian wyszedł 1/2. I juz

zeeloony
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 26 razy

Splatanie funkcji

Post autor: zeeloony » 20 wrz 2007, o 17:58

czyli stara gęstość * jakobian?

dziękuje kochana za Twoją nieocenioną pomoc :*

czy możesz podać mi na pw Twoje gg, w razie jak bym miała problem to bym do Ciebie napisała dobrze?

sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Splatanie funkcji

Post autor: sigma_algebra1 » 20 wrz 2007, o 18:22

W tym przypadku dokładnie tak będzie

Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 29 paź 2007, o 11:40 przez sigma_algebra1, łącznie zmieniany 1 raz.

zeeloony
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 26 razy

Splatanie funkcji

Post autor: zeeloony » 20 wrz 2007, o 18:25

a jak bym miala gestość wyjściowa 0,5*x*y i ten jakobian 1/2 to bede miala f(u,v) = 0.5 * (u+v/2) * (u-v/2) * 1/2 ?

sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Splatanie funkcji

Post autor: sigma_algebra1 » 20 wrz 2007, o 18:36

Tak właśnie

zeeloony
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 26 razy

Splatanie funkcji

Post autor: zeeloony » 20 wrz 2007, o 18:38

super bardzo Ci dziekuje :*

a jak obszar gestosci wyjsciowej nie bedzie dany tak jak tutaj |x| + |y| < 1 tylko np -1

sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Splatanie funkcji

Post autor: sigma_algebra1 » 20 wrz 2007, o 18:48

No to trzeba policzyc . ZA x wstawiasz to (u+v)/2, za y (u-v)/2 i przekształcasz co trzeba, i wychodzi "kopnięty" kwadrat tylko większy niż ostatnio o boku 4.

[ Dodano: 20 Września 2007, 18:49 ]
przepraszam :przekątnej równej 4!

zeeloony
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 26 razy

Splatanie funkcji

Post autor: zeeloony » 20 wrz 2007, o 19:00

a masz może pomysł na to zadanie

[Niezalezne zmienne losowe X i Y podlegają rozkladowi normalnemu N(0, σ ). Jaki jest rozklad zmiennej \(\displaystyle{ U = sqrt{X^2 + Y^2}.}\)

ODPOWIEDZ