Matematyka.pl

Cześć, dzisiaj na egzaminie miałem policzyć asymptoty takiej funkcji, tylko chyba źle ją obliczyłem:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{ln \left ( x^2 + \frac{1}{2} \right)}{x} + ln(x) + \sqrt{2} x}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{D} = (0, +\infty)}\)

Asymptota pionowa:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} \left ( \frac{ln \left ( x^2 + \frac{1}{2} \right )}{x} \right ) + \lim_{x \to 0^+} ln(x) + \lim_{x \to 0^+} \sqrt{2}x = -\infty}\)

Asymptota pionowa prawostronna w \(\displaystyle{ x = 0}\)

Asymptota ukośna:
\(\displaystyle{ a = \lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} ...}\) po sprowadzeniu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) do wspólnego mianownika i podzieleniu przez \(\displaystyle{ x}\) dostałem:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty} \left ( \frac{ln \left (x^2 + \frac{1}{2} \left )}{x^2} \right ) + \lim_{x \to + \infty} \left ( \frac{ln(x)}{x} \right ) + \lim_{x \to + \infty} \sqrt{2}}\)

W pierwszej i drugiej granicy wychodzi mi symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \left [ \frac{\infty}{\infty} \right ]}\), czyli de l'Hopital:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty} \left ( \frac{ln \left (x^2 + \frac{1}{2} \left )}{x^2} \right ) \stackrel{\text{H}}{=} \lim_{x \to + \infty}\left ( \frac{\frac{2x}{x^2 + \frac{1}{2}}}{2x} \right ) = \lim_{x \to + \infty} \left ( \frac{1}{x^2 + \frac{1}{2}} \right ) = 0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty} \left ( \frac{ln(x)}{x} \right ) \stackrel{\text{H}}{=} \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty} \left ( \frac{ln \left (x^2 + \frac{1}{2} \left )}{x^2} \right ) + \lim_{x \to + \infty} \left ( \frac{ln(x)}{x} \right ) + \lim_{x \to + \infty} \sqrt{2} = \sqrt{2}}\)

No, i teraz mam problem z obliczeniem tego b, bo ma wyjść 0, a jakoś nie umiem do tego dojść, może mi ktoś pomóc w rozwiązaniu tej granicy i w ogóle, czy ja to dobrze robię?

Pewna uwaga techniczna: dopóki nie wiesz, czy granica każdego ze składników istnieje, błędem jest rozbicie granicy sumy na sumę granic. Zapewne na egzaminie by za to nie odjęto (to zależy, jak bardzo czepliwy jest sprawdzający), ale zasadniczo nie powinno się tak pisać. Zamieniłbym to na
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\ln\left(x^2+\frac 1 2\right)}{x^2}+ \frac{\ln x}{x}+\sqrt{2} \right)}\)
Natomiast ostatecznie asymptota ukośna nie istnieje, gdyż
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to +\infty}\left(\frac{\ln \left ( x^2 + \frac{1}{2} \right)}{x} + \ln(x) \right) =+\infty}\)
Pierwszy składnik dąży do zera (też to można wyliczyć z de l'Hospitala), natomiast drugi do \(\displaystyle{ +\infty}\)

To zrąbałem całe zadanie. Kiedyś facet mówił nam, że jak mamy funkcję, np.:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{ln (x^2 + \frac{1}{\sqrt{2}})}{x} + 2x + 1}\)

To w tym momencie "z góry" wiadomo, że asymptotą ukośną będzie funkcja liniowa o równaniu \(\displaystyle{ y = 2x + 1}\)

Myślałem, że w tym przypadku będzie tak samo i gdzieś na siłę starałem się poszukać tego zera, ale jak widać nauka schematów nie popłaca

ale jak widać nauka schematów nie popłaca

Jak to mawiał ksiądz dr T.M. na lekcjach religii w gimnazjum, "to zdanie podkreślić i w rameczkę".

Nie ma tu sensownej analogii do
"funkcji np. \(\displaystyle{ f(x) = \frac{\ln (x^2 + \frac{1}{\sqrt{2}})}{x} + 2x + 1}\)".
Chodzi o to, że jeśli mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) postaci
\(\displaystyle{ f(x)=g(x)+ax+b}\), gdzie \(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}g(x)=0}\) oraz \(\displaystyle{ a\neq 0}\) (inaczej to mamy tzw. asymptotę poziomą), to asymptotą ukośną funkcji \(\displaystyle{ f}\) będzie \(\displaystyle{ y=ax+b}\)
Tutaj, co jasne, tak nie jest.
Ale tak to bywa, gdy prowadzący uczy na przykładach, a słuchacze nie rozumieją, co te przykłady reprezentują - potem coś im się wyda na oko podobne i zwalą. Analiza przykładów bardzo często pomaga wysuwać hipotezy co do ogólniejszych własności (bądź je obalać) i pozwala wiele rzeczy "poczuć", natomiast jeśli ktoś na niej zaczyna i kończy naukę, to zwykle się to zemści, prędzej czy później.

No, niestety taka jest smutna prawda. Całe szczęście, że jest jeszcze termin we wrześniu.