układ równan z parametrem

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
elmerm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 19 wrz 2007, o 18:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z nieba

układ równan z parametrem

Post autor: elmerm » 19 wrz 2007, o 18:54

dla jakich wartości parametru a układ równań
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x+ay+z=1\\ax+y+az=-1\\3x-y+z=a^{2} \end{array}}\)
ma dokładnie jedno rozwiązanie a dla jakich więcej niz jedno ???
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

układ równan z parametrem

Post autor: scyth » 24 wrz 2007, o 12:26

Liczymy wyznacznik macierzy współczynników układu Cramera:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c c c|}
2 & a & 1 \\
a & 1 & a \\
3 & -1 & 1
\end{array} =
2 \begin{array}{|c c|}
1 & a \\
-1 & 1
\end{array} -
a \begin{array}{|c c|}
a & a \\
3 & 1
\end{array} +
\begin{array}{|c c|}
a & 1 \\
3 & -1
\end{array} = \\ =
2 + 2a -a^2+3a^2-a-3=2a^2+a-1=(2a-1)(a+1)}\)


Zatem układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie dla \(\displaystyle{ a \mathbb{R} \backslash ft\{-1,\frac{1}{2} \right\}}\).

Pozostają do zbadania przypadki \(\displaystyle{ a=-1}\) oraz \(\displaystyle{ a=\frac{1}{2}}\).

ODPOWIEDZ