Tożsamości z liczbami Stirlinga I i II rodzaju
: 25 cze 2017, o 00:58
Cześć, potrzebuję pomocy, żeby dowieść kilka tożsamości z liczbami Stirlinga pierwszego i drugiego rodzaju. Zrobiłem kilka przykładów lecz kilka jest takich, że w pewnym momencie się zatrzymuje i nie wiem co dalej ruszyc. Tutaj kilka z nich:
1. \(\displaystyle{ x^{\overline{n}} = \sum_{k=0}^{n} \left[ \begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \right] x^{k}}\)
2. \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \left\{ {k}\atop{2}\right\} \left( {n}\atop{k}\right) = \left\{ {n+1}\atop{3}\right\}}\)
3. \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k \left[\begin{matrix} n+1 \\ k\end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} n+2 \\ 2\end{matrix} \right]}\)
4. \(\displaystyle{ \sum_{k=m}^{n} \left\{ {k}\atop{m}\right\} \left( {n}\atop{k}\right) = \left\{ {n+1}\atop{m+1}\right\}}\)
5. \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \left[\begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \right] 2^{k} =(n+1)!}\)
6. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k\left[\begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} n+1 \\ 2\end{matrix} \right]}\)
1. \(\displaystyle{ x^{\overline{n}} = \sum_{k=0}^{n} \left[ \begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \right] x^{k}}\)
2. \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \left\{ {k}\atop{2}\right\} \left( {n}\atop{k}\right) = \left\{ {n+1}\atop{3}\right\}}\)
3. \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k \left[\begin{matrix} n+1 \\ k\end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} n+2 \\ 2\end{matrix} \right]}\)
4. \(\displaystyle{ \sum_{k=m}^{n} \left\{ {k}\atop{m}\right\} \left( {n}\atop{k}\right) = \left\{ {n+1}\atop{m+1}\right\}}\)
5. \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \left[\begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \right] 2^{k} =(n+1)!}\)
6. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k\left[\begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} n+1 \\ 2\end{matrix} \right]}\)