Matematyka.pl

Cześć, na kolokwium miałem policzyć asymptoty takiej funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = {\frac{ln \left(x^2 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{x} + \frac{x}{\sqrt{3}}}\)

Liczyłem asymptotę pionową w zerze:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{-}} {\frac{ln \left(x^2 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{x} + \frac{x}{\sqrt{3}}}\)

Wyszło mi \(\displaystyle{ + \infty}\) i miałem to jeszcze udowodnić, że tak jest, więc napisałem, że po podstawieniu dostaniemy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{-}} {\frac{ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{0}} + \frac{0}{\sqrt{3}}}\)

No i teraz \(\displaystyle{ {\frac{ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{0^{-}}}}\) dąży do \(\displaystyle{ + \infty}\), bo w liczniku i mianowniku mamy liczbę ujemną, a \(\displaystyle{ \frac{0}{\sqrt{3}}}\) jest zerem.

Niestety taka odpowiedź nie wystarczy. Tutaj moje pytanie, jak mam udowodnić, że granica lewostronna w zerze jest równa \(\displaystyle{ + \infty}\), a prawostronna \(\displaystyle{ - \infty}\)?

Nie rozumiem, dlaczego niby nie wystarczy stwierdzenie, że licznik dąży do wartości ujemnej, zaś mianownik do zera...
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{-}} {\frac{\ln(x^2 + \frac{1}{\sqrt{2}})}{x}= \lim_{x \to 0^{-}}\left( \frac{\ln\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) }{x}+ \frac{\ln\left( \sqrt{2}x^2+1)\right) }{x} \right)=\\= \lim_{x \to 0^{-}}\left( \frac{\ln\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) }{x}+\sqrt{2}x \cdot \frac{\ln(\sqrt{2}x^2+1)}{\sqrt{2}x^2} \right)}\)
Pierwszy składnik dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\), gdyż \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{\sqrt{2}}<1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{-} } \frac{1}{x}=-\infty}\), zaś drugi dąży do zera, bo \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\), zaś \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} =1}\)
Czy może chodzi o dowód z definicji granicy, czy jakie znowu dziwy?? Byłoby prościej, gdybyś wyjaśnił, jakie są konkretnie oczekiwania i jaki jest zarzut odnośnie tego, co napisałeś na kolokwium.-- 21 cze 2017, o 20:30 --A, może zarzut jest taki, że podstawiłeś zero w mianowniku, to rzeczywiście kijowy zapis.
Poza tym po, jak napisałeś, "podstawieniu" nie powinieneś mieć już żadnego znaku granicy. Może uznano, że to co piszesz wskazuje na niezrozumienie tego, czym jest granica i stąd problem.

Jedyne, co mi powiedział to: "Dobrze, ale dlaczego tak jest?", i w tym momencie zgłupiałem, przecież mu napisałem. Może faktycznie jemu chodziło o to, co napisałeś, żeby udowodnić to z definicji granicy, ale i tak bym tego nie napisał, co Ty, bo bym nie potrafił :/

W ogóle mam pytanie, możesz mi wyjaśnić jak to zrobiłeś, że dostałeś
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{-}} \left({\frac{ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{x}} + {\frac{ln \left(\sqrt{2}x^2 + 1 \right)}{x}} \right)}\)

i to
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{-}} \left( \frac{ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{x} + \sqrt{2}x ... \right)}\)?

To pierwsze:
skorzystałem z tego, że dla dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) mamy \(\displaystyle{ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)}\)
Tutaj \(\displaystyle{ a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=\sqrt{2}x^2+1}\)
To drugie: po prostu pomnożyłem i podzieliłem przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}x}\).
Chodziło mi o to, by skorzystać ze znanej granicy
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}=1}\), tutaj \(\displaystyle{ t=\sqrt{2}x}\)

A na jakich studiach jesteś? Bo jeśli nie na matematycznych ani ewentualnie fizycznych, to dziwiłby mnie wymóg udowadniania czegoś z definicji.

Dziękuję bardzo już rozumiem sprowadzamy do wspólnego mianownika i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}x^2 + 1}\)

A co do Twojego pytania, to nie, nie jestem na studiach matematycznych ani fizycznych, tylko mam dość surowego nauczyciela, który wymaga od Ciebie nie tylko policzenia, ale też dowodu, czyli po prostu sprawdzenia, że nie zrzynałeś tylko masz coś we łbie. Na przykład w poprzednim semestrze dodatkowym zadaniem na czwórkę (ogólnie wszystkie zadania są na tróję) trzeba było udowodnić, że rozwiązaniem granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\alpha^\frac{1}{x} + \beta^{\frac{1}{x}}}{2} \right)^x}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha, \ \beta >0}\)

jest \(\displaystyle{ e...}\) do czegoś tam.

I jak na następnym wykładzie pokazał rozwiązanie tego zadania, to w tym momencie:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x} \left( \frac{\beta^x - xln\beta}{\alpha^x - xln\alpha} \right) \left( \frac{ \left( \alpha^x ln\alpha - ln{\alpha} \right) \left( \beta^x - xln\beta \right) - \left( \alpha^x -xln\alpha \right) \left( \beta^x ln\beta - ln\beta \right)}{ \left( \beta^x - xln\beta \right)^2} \right)}\)

odechciało mi się pisać.

A ta granica, którą teraz napisałeś, nie jest taka straszna, jeśli mniej więcej się wie, co warto zrobić. Generalnie to dla dodatnich \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }\alpha^{\frac 1 x}=1}\) itd.
więc
przy \(\displaystyle{ x\rightarrow \infty}\) widzimy, że
\(\displaystyle{ \left( \frac{\alpha^\frac{1}{x} + \beta^{\frac{1}{x}}}{2} \right)^x}\)
to jest symbol nieoznaczony typu \(\displaystyle{ [1^{\infty}]}\)
Mamy
\(\displaystyle{ \ln\left( \frac{\alpha^\frac{1}{x} + \beta^{\frac{1}{x}}}{2} \right)^x=x \ln\left( 1+ \frac{\alpha^{\frac 1 x}-1+\beta^{\frac 1 x}-1}{2} \right)}\)
i nie ma się czego bać, mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{\alpha^{\frac 1 x}-1+\beta^{\frac 1 x}-1}{2}=0}\)
więc można tu mieć skojarzenie ze znaną granicą specjalną \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}}\), trzeba by przez coś podzielić i pomnożyć, by doprowadzić do takiej postaci.

\(\displaystyle{ x \ln\left( 1+ \frac{\alpha^{\frac 1 x}-1+\beta^{\frac 1 x}-1}{2} \right)=\left( x \cdot\frac{\alpha^{\frac 1 x}-1+\beta^{\frac 1 x}-1}{2}\right) \cdot \frac{\ln\left( 1+ \frac{\alpha^{\frac 1 x}-1+\beta^{\frac 1 x}-1}{2} \right)}{\frac{\alpha^{\frac 1 x}-1+\beta^{\frac 1 x}-1}{2} }=\\=\frac 1 2\left( \frac{\alpha^{\frac 1 x}-1}{\frac 1 x} + \frac{\beta^{\frac 1 x}-1}{\frac 1 x} \right) \cdot \frac{\ln\left( 1+ \frac{\alpha^{\frac 1 x}-1+\beta^{\frac 1 x}-1}{2} \right)}{\frac{\alpha^{\frac 1 x}-1+\beta^{\frac 1 x}-1}{2} }}\)
no i teraz korzystając z granic specjalnych:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}=1, \ \lim_{t \to 0} \frac{a^t-1}{t}=\ln a}\)
dla \(\displaystyle{ a>0}\) oraz z tw. o granicy iloczynu mamy
\(\displaystyle{ \frac 1 2\left( \frac{\alpha^{\frac 1 x}-1}{\frac 1 x} + \frac{\beta^{\frac 1 x}-1}{\frac 1 x} \right) \cdot \frac{\ln\left( 1+ \frac{\alpha^{\frac 1 x}-1+\beta^{\frac 1 x}-1}{2} \right)}{\frac{\alpha^{\frac 1 x}-1+\beta^{\frac 1 x}-1}{2} }= \frac{\ln \alpha+\ln \beta}{2}}\)
zatem końcowy wynik to
\(\displaystyle{ e^{ \frac{\ln \alpha+\ln \beta}{2}}=e^{\ln\sqrt{\alpha\beta}}=\sqrt{\alpha\beta}}\)


Natomiast uważam, że to naprawdę przegięcie, żeby to zadanie dawać "na czwórkę" na kierunku, na którym matematyka nie jest głównym obiektem zainteresowania. Liczenie takich granic w ogóle do niczego się nie przydaje, jest tylko rozrywką (dla tych, którzy lubią takie rozrywki).

Łał, z mojej strony chapeau bas. Jeśli mam być szczery, to mogłeś napisać cokolwiek i też bym nie zauważył różnicy

Wiesz co, coś mi świta ten wynik, ale nie wiem, czy był ten sam, bo tam wyszło coś z jakimś \(\displaystyle{ exp}\), więc nie powiem dokładnie jaki on był, ale było coś z pierwiastkiem.

Mój nauczyciel jest trochę sadystą i chyba lubi się czasami powyżywać. Często na piątkę daje zadania, których w ogóle nie było ani na wykładzie, ani na ćwiczeniach, to zadania dla tych, którzy na prawdę lubią matematykę poza szkołą. Poza tym, to było zadanie na czwórkę, a żeby dostać tę piątkę, to trzeba rozwiązać jeszcze dwa, zadanie na 4,5 i dopiero na 5, więc chyba jest niespełniony życiowo, mimo że ma nielichy mózg.

A w ogóle, co to jest ta granica specjalna, którą cały czas używasz, to jest jakiś pewnik w matematyce i kiedy można go użyć? Wybacz, że Cię tak dręczę, ale zawsze wolałem fizykę niż matematykę, bo nie wiele z tego ogarniam.

Jest kilka takich granic, które często uznaje się za "dobrze znane" bez każdorazowego ich udowadniania (co nie znaczy, że przyjmuje się je za pewnik, najpierw pojawia się dowód - przynajmniej na studiach matematycznych - a potem się z tego już korzysta). Np.
\(\displaystyle{ lim_{t o 0} frac{sin t}{t}=1\ lim_{t o 0} frac{ln(1+t)}{t}=1 \ lim_{t o 0} frac{e^t-1}{t}=1\ lim_{t o 0} frac{a^t-1}{t}=ln a, a>0\ lim_{t o 0}left( 1+t
ight) ^{frac 1 t}=e}\)

Dowody niektórych z nich pojawiły się w tym wątku:
90940.htm