Matematyka.pl

Oblicz lub zbadaj zbieżność całki:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{ +\infty } \frac{dx}{x \sqrt{x+1} }}\)

Obliczyłem już całkę nieoznaczoną podstawiając \(\displaystyle{ t^{2}=x+1}\) co dało mi \(\displaystyle{ \frac{2tdt}{ (t^{2}-1)t }=ln| \frac{ \sqrt{x+1}-1 }{ \sqrt{x-1}+1 } |+C}\)
wiem że teraz powinienem obliczyć granice np. \(\displaystyle{ \alpha \rightarrow \infty}\) ale coś mi nie wychodzi
z góry dziękuje za pomoc

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \ln \left| \frac{ \sqrt{x+1}-1 }{ \sqrt{x+1}+1 } \right|=0}\)
gdyż argument logarytmu dąży do \(\displaystyle{ 1}\)*, a logarytm naturalny jest ciągły i \(\displaystyle{ \ln 1=0}\).
*Jak tego nie widzisz, to
podziel licznik i mianownik wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x+1}-1 }{ \sqrt{x-1}+1 }}\) przez \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}}\)

Wykorzystanie nierówności \(\displaystyle{ \frac{1}{x \sqrt{x+1}} \le \frac{1}{x \sqrt{x} }}\) pozwala dość sprawnie to policzyć bo

\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{1}{x \sqrt{x+1}} \mbox{d}x \le \int_{1}^{ \infty } \frac{1}{x \sqrt{x} } \mbox{d}x< \infty}\)

Bo całka po prawej jest "łatwiejsza".

Można by było się powołać też na kryterium ilorazowe i zbadać :

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{1}{x \sqrt{x+1} } }{ \frac{1}{x \sqrt{x}}}=1}\)