Udowodnić, że twierdzenie należy do KRZ

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
crackcommander
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 17 cze 2007, o 19:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk

Udowodnić, że twierdzenie należy do KRZ

Post autor: crackcommander » 19 wrz 2007, o 16:50

Udowodnić, że twierdzenie należy do KRZ:
\(\displaystyle{ [(A \longrightarrow B) (C \longrightarrow D)]\longrightarrow [(A B)\longrightarrow (B D)]}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Xfly
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 174
Rejestracja: 13 mar 2006, o 20:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowogard
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 10 razy

Udowodnić, że twierdzenie należy do KRZ

Post autor: Xfly » 19 wrz 2007, o 21:47

Co rozumiesz pod skrótem KRZ ?

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Udowodnić, że twierdzenie należy do KRZ

Post autor: scyth » 20 wrz 2007, o 07:41

Rozumiem, że poprawny zapis to:
\(\displaystyle{ [(A B)\wedge(C D)]\Rightarrow[(A C)\Rightarrow(B D)]}\)

\(\displaystyle{ A B}\) zachodzi gdy:
1. \(\displaystyle{ A=0}\)
Wtedy niezależnie od watrości \(\displaystyle{ C, D}\) (ale spełniających założenie) zachodzi \(\displaystyle{ A C = 0}\) zatem implikacja (implikacje) są spełnione
2. \(\displaystyle{ A=1}\)
Wtedy gdy \(\displaystyle{ C=0}\) otrzymujemy punkt 1. Zatem niech \(\displaystyle{ A=C=1}\).Wtedy również (z założenia) \(\displaystyle{ B=D=1}\), zatem implikacja jest spełniona.

crackcommander
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 17 cze 2007, o 19:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk

Udowodnić, że twierdzenie należy do KRZ

Post autor: crackcommander » 20 wrz 2007, o 13:29

Hmm, chyba nie o to mi chodzi. KRZ to skrót od Klasycznego Rachunku Zdań. Udowodnić takie twierdzenie można na podstawie reguły odrywania, zastosowania aksjomatów, twierdzenie nie wprost itp. Nie możemy takiego twierdzenia udowadniać za pomocą logiki dwuelementowej przy pomocy tabeli.

Xfly
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 174
Rejestracja: 13 mar 2006, o 20:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowogard
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 10 razy

Udowodnić, że twierdzenie należy do KRZ

Post autor: Xfly » 20 wrz 2007, o 17:13

Metoda nie wprost.

Zakładamy, że zdanie to nie jest tautologią, a więc dla pewnych wartości zmiennych zdaniowych jest fałszywe. Widzimy, że jest to implikacja, która jest fałszywa tylko gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Mamy \(\displaystyle{ (A B) (C D) = 1}\) i \(\displaystyle{ (A C) (B D) = 0.}\) Następnik też jest implikacją, więc \(\displaystyle{ A C = 1 i B D = 0}\). Z określenia koniunkcji mamy \(\displaystyle{ A = 1, B = 1 0, C = 1, D = 1 0}\) (przy czym nie zachodzi B = 1 i D = 1). Zajmiemy się następnikiem głównej implikacji. Jest to koniunkcja, prawdziwa tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ A B = 1}\) i \(\displaystyle{ C D =1}\) Przy wcześniejszych wartościach A i C dochodzimy do wniosku, że B i D muszą być też prawdziwe. Jest to sprzeczne z wcześniej uzyskanymi rezultatami że nie zachodzi \(\displaystyle{ B = 1}\) i \(\displaystyle{ D = 1}\). Sprzeczność to obala nasze założenie że nie jest to tautologia, więc jest to tautologia. cdn.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27869
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Udowodnić, że twierdzenie należy do KRZ

Post autor: Jan Kraszewski » 20 wrz 2007, o 22:39

Oj, nie zrozumieliście crackcommandera... On potrzebuje dowodu syntaktycznego, a nie semantycznego (a taki podał zarówno scyth, jak i Xfly).
JK

ODPOWIEDZ