Matematyka.pl

Cześć, mam problem z zadaniem:
Oblicz pracę absolutną, techniczną i użyteczną przemiany jaką wykonuje gaz w cylindrze, gdy obowiązuje zależnośd \(\displaystyle{ pV=4 \cdot 10^5}\). Dane: ciśnienie początkowe \(\displaystyle{ p_1=1,0 MPa}\), ciśnienie koocowe \(\displaystyle{ p_2=0,1 MPa}\), ciśnienie otoczenia \(\displaystyle{ p_0=950 hPa}\).

Do rozw. zagadnienia posłużymy się typowym przykładem wykonywania pracy \(\displaystyle{ L}\) w termodynamice, jakim jest odziaływanie tłoka na czynnik termodynamiczny zamknięty w cylindrze.
...........................................................
1.Praca bezwzględna( absolutna)- bez tarcia!
Jest to praca przekazywana na wewnętrzną stronę tłoka w zamkniętym cylindrze przy założeniu, że ciśnienie otoczenia \(\displaystyle{ p _{ot}=0}\).
\(\displaystyle{ L _{1-2}=\int\limits_{V _{1} }^{V _{2} } pdV}\), (1)
Z własności przemiany izotermicznej mamy zależność:
\(\displaystyle{ p \cdot V= p _{1} \cdot V _{1}}\), (2)
Stąd ciśnienie \(\displaystyle{ p}\) czynnika;
\(\displaystyle{ p= \frac{p _{1} \cdot V _{1} }{V}}\), (3)
Teraz całka przyjmie postać:
\(\displaystyle{ L _{1-2}=\int\limits_{V _{1} }^{V _{2} } p _{1} V _{1} \frac{dV}{V}=
p _{1} V _{1} ln \frac{V _{2} }{V _{1} }}\), (4)
Wykorzystujemy poraz drugi związek wynikający z własności przemiany:
\(\displaystyle{ p _{1} \cdot V _{1} =p _{2} \cdot V _{2}}\), (5)
Czyli:
\(\displaystyle{ \frac{p _{1} }{p _{2} } = \frac{V _{2} }{V _{1} } }}\)
Ostatecznie praca bezwzględna jest równa:
\(\displaystyle{ L _{1-2}=p _{1} \cdot V _{1} \cdot ln \frac{p _{1} }{p _{2} }=p \cdot V \cdot ln \frac{p _{1} }{p _{2} }}\) , (6)
Gdzie :
\(\displaystyle{ ln}\)- logarytm naturalny!
.................................................
2.Praca techniczna \(\displaystyle{ L _{T}}\)
Suma prac bezwzględnych przy jednym pełnym cyklu maszyny przepływowej.
/Cykl składa się z przemian: napełniania, rozprężania i wydmuchu/.
\(\displaystyle{ L _{T} =L _{1-2}+p _{1} \cdot V _{1}-p _{2} \cdot V _{2}}\), (7)
Ponieważ:
\(\displaystyle{ p _{1} \cdot V _{1} =p _{2} \cdot V _{2}}\),
Ostatecznie praca techniczna:
\(\displaystyle{ L _{T}=L _{1-2}}\), (8)
.............................
Praca użyteczna \(\displaystyle{ L _{u}}\)
To praca bewzględna pomniejszona o pracę kompresji otoczenia
/Część pracy bezwzględnej jest zużywana na pokonanie siły działającej na tłok, a pochodzącej od ciśnienia otoczenia \(\displaystyle{ p _{ot}}\)/
\(\displaystyle{ L _{u}=L _{1-2} -p _{ot}(V _{2} -V _{1})}\)
................................................
\(\displaystyle{ p _{1}, p _{2}}\)- początkowe i końcowe ciśnienie gazu,
\(\displaystyle{ V _{1}, V _{2}}\)-początkowa i końcowa obj. gazu,