Matematyka.pl

Mam następujące zadanie:
Dla jakiego \(\displaystyle{ t \in R}\) forma kwadratowa jest dodatnio określona w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\)?
Nigdzie w internecie ani w notatkach nie udało mi się znaleźć w jaki sposób takie zadanie rozwiązywać więc zrobiłem to "na czuja" wiedząc, że żeby forma kwadratowa była dodatnio określona wszystkie minory główne jej macierzy muszą być dodatnie.

A więc mamy przykład:
\(\displaystyle{ A(x) = 5x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + tx_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} - 2x_{2}x_{3}}\)
Zapisuję macierz:
\(\displaystyle{ M = \left[\begin{array}{ccc}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&t\end{array}\right]}\)
Wszystkie minory główne mają być dodatnie:
\(\displaystyle{ \Delta_{1} = \left| 5\right| = 5 > 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_{2} = \left|\begin{array}{cc}5&2\\2&1\end{array}\right| = 5 - 4 = 1 > 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_{3} = \left|\begin{array}{ccc}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&t\end{array}\right| = t - 2}\)
\(\displaystyle{ t - 2 > 0\newline t > 2}\)
A więc forma kwadratowa jest dodatnia dla \(\displaystyle{ t > 2}\).

Czy to rozwiązanie ma sens?

Jak najbardziej.
Na mocy twierdzenia Sylvestera, forma kwadratowa jest dodatnio określona, gdy wszystkie minory główne jej macierzy są większe od zera, czyli takie których diagonala zawiera się w przekątnej macierzy.