Strona 1 z 1
Kombinacje z powtórzeniami a rozmieszczenia nieuporządkowane
: 15 cze 2017, o 14:51
autor: qweqwe123
Witam!
W notatkach mojego wykładowcy czytam, iż wzorem na rozmieszczenia nieuporządkowane (rozmieszczenie n elementów w k róznych pudełkach) lub (liczba sposobow wyboru n przedmiotow(dopuszczane powtórzenia) z k różnych typów) jest \(\displaystyle{ n+k-1 \choose k-1}\).
Z kolei innym wzorem podanym jest wzór na kombinacje z powtórzeniami \(\displaystyle{ n+k-1 \choose k}\)
Stąd moje pytanie, jaka jest różnica między rozmieszczeniami nieuporządkowanymi, a kombinacjami z powtórzeniami
Re: Kombinacje z powtórzeniami a rozmieszczenia nieuporządko
: 15 cze 2017, o 14:58
autor: Mruczek
Nie ma żadnej różnicy. Po prostu literki w jednym i drugim wzorze muszą odpowiadać temu samemu, żeby zachodziła równość.
Podany wzór na kombinacje z powtórzeniami odpowiada \(\displaystyle{ k}\)-kombinacjom ze zbioru \(\displaystyle{ n}\) - elementowego.
Takiej kombinacji odpowiada rozmieszczenie \(\displaystyle{ k}\) elementów w \(\displaystyle{ n}\) pudełkach, a nie na odwrót, czyli \(\displaystyle{ {n + k - 1\choose n - 1} = {n+k-1 \choose k}}\)
Re: Kombinacje z powtórzeniami a rozmieszczenia nieuporządkowane
: 21 maja 2022, o 18:10
autor: PR713
Zmieniłeś w symbolu Newtona k-1 na "n-1" Natomiast mu chodziło o ten właśnie wzór
Kombinacje z powtórzeniami. -
Autor postu błędnie napisał k-1 zamiast n-1, natomiast Mruczek poprawnie, jeszcze wyjaśnienie problemu rozpisane przedstawiam poniżej w cytacie
Zatem czym to się różni?
Przecież jeśli chcemy obliczyć na ile sposobów możemy 5 osób usadowić w 10 wagonach to mamy
\(\displaystyle{ {10+5-1\choose 10-1} }\) zatem mamy właśnie ten wzór który wyżej napisałeś w swoim poście, bo mamy "coś po "n-1" " lub zamiennie "coś po "k" ".
Lecz dla tego zadania z linku, dlaczego jest to inny wzór?
Zatem dlaczego dla osób i wagonów stosujemy ten
\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k} = {n+k-1 \choose n-1} }\)
Natomiast tutaj
\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1} }\)
Dodano po 58 minutach 58 sekundach:
PR713 pisze: ↑21 maja 2022, o 16:37
Dobra kumam, to jest ten sam wzór, błąd oznaczeń w zamianie n oraz k, ciąg długości k+n-1, n-1 przegródek, w tym zadaniu z linku mamy k = 10, n = 5 szufladek, czyli kula_1 + k_2 +...k_5 = 10, natomiast z wagonami
w_1+...w_10 = 5 i tutaj k = 5, n = 10, więc mamy w symbolu Newtona kolejno
\(\displaystyle{ {10+5-1 \choose 5-1} }\) z szufladkami oraz
\(\displaystyle{ {5+10-1 \choose 10-1} }\) a to znów przekształcając z własności
\(\displaystyle{ {n\choose k} = {n \choose n-k} }\) otrzymamy
\(\displaystyle{ {10+5-1 \choose 10} }\) z szufladkami oraz
\(\displaystyle{ {5+10-1 \choose 5} }\)
Zatem co do zgodności oznaczeń mamy
\(\displaystyle{ {k+n-1 \choose n-1} = {k+n-1 \choose k} }\), zatem wszystko jest dobrze
