wyznacznik operatora liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
josef871
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 20 sie 2007, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

wyznacznik operatora liniowego

Post autor: josef871 » 19 wrz 2007, o 13:24

Obliczyć wyznacznik operatora liniowego F działającego w przestrzeni wielomianów \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{2}[t]}\) i danego wzorem:

\(\displaystyle{ (Fw)(t) = w(0) + t w'(t) + t\limits_{-1}^{1} w(t)dt}\)

mógłby ktoś wytłumaczyć jak z tego wyliczyć macierz a potem jej wyznacznik?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

wyznacznik operatora liniowego

Post autor: Sir George » 25 wrz 2007, o 12:52

α W jakiej bazie chcesz zapisać operator F?

Standardowo przyjmuje się, że \(\displaystyle{ \,\mathbb{R}_2[t]\,=\,\langle1,t,t^2\rangle\,}\).


β Oznaczając elementy bazy przez \(\displaystyle{ e_0}\), \(\displaystyle{ e_1}\), \(\displaystyle{ e_2}\), rozpisujesz w owej bazie działanie operatora F na elementach bazy.

\(\displaystyle{ F(e_0)(t)\,=\,3\,=\,3e_0(t) \\ F(e_1)(t)\,=\,t\,=\,e_1(t) \\ F(e_2)(t)\,=\,2t^2+\frac23\,=\,\frac23e_0(t)+2e_2(t)}\)


γ W powyższej bazie macierz operatora F jest zatem równa
\(\displaystyle{ F\,=\,\begin{pmatrix}3&0&0\cr0&1&0\cr\frac23&0&2\end{pmatrix}}\)


... skąd już łatwo widać, że szukany "wyznacznik" wynosi 6 (piszę w cudzysłowie, bo zależy on w sposób istotny od wyboru bazy...)


Pozdrawiam ...

ODPOWIEDZ