Całke krzywolinowa nieskierowana

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
batory1533
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 19 wrz 2007, o 09:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radomsko
Podziękował: 4 razy

Całke krzywolinowa nieskierowana

Post autor: batory1533 » 19 wrz 2007, o 13:10

Prosze o pomoc w obliczeniu całki krzywolinowej nieskierowanej

\(\displaystyle{ \iint_{K}\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}dl}\)

po krzywej K:

\(\displaystyle{ x(t)=\cos t + t\sin t ,\newline y(t)=\sin t - t\cos t,\newline 0 qslant t qslant \pi}\)

Prosze o wytłumacenie krok po kroku z góry dzieki, to juz na szczescie przed ostatnie zadanie
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Całke krzywolinowa nieskierowana

Post autor: scyth » 19 wrz 2007, o 13:34

Korzystamy z twierdzenia o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną:
\(\displaystyle{ \int_K f(x,y) dl = t\limits_a^b f(x(t),y(t)) \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} dt}\)
W naszym przypadku:
\(\displaystyle{ f(x(t),y(t))=\sqrt{2(\cos{t}+t\sin{t})^2 + 2 (\sin{t}-t\cos{t})^2}=\sqrt{2+2t^2} \\
x'(t)=t\cos(t) \\
y'(t)=t\sin(t) \\
\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}=t}\)

Otrzymujemy całkę:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\int\limits_0^{\pi} t\sqrt{1-t^2} dt = \sqrt{2} ft[\frac{(1-t^2)^\frac{3}{2}}{3} \right]_0^{\pi} = ...}\)

Nauczony doświadczeniem - poczekaj aż ktoś sprawdzi moje rachunki .

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Całke krzywolinowa nieskierowana

Post autor: Amon-Ra » 19 wrz 2007, o 13:35

Dla krzywej danej w sposób parametryczny procedura jest następująca:

\(\displaystyle{ \int_{k}f(x,y)dl=\int_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t))\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2}dt}\)

Teraz popodstawiaj, uprość wyrażenie, poskracaj, co można i oblicz.

Edycja
Spóźniony o minutę .

ODPOWIEDZ