Obliczanie całki podwójnej po kole

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
batory1533
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 19 wrz 2007, o 09:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radomsko
Podziękował: 4 razy

Obliczanie całki podwójnej po kole

Post autor: batory1533 » 19 wrz 2007, o 12:23

Mam taka całke :

\(\displaystyle{ \iint_{D}xy^{2}dxdy}\)

D:

\(\displaystyle{ 1 qslant x^2+y^2\leqslant4 , x qslant 0 , y qslant0}\)

Mam ja obliczyc najlepiej aby wszystko było pokazane krok po kroku
Dzieki wszystkim ludziomy którzy sie tym zainteresuja:)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Obliczanie całki podwójnej po kole

Post autor: scyth » 19 wrz 2007, o 12:43

Tak średnio jest to po kole, no ale nic.
1. rzutujemy na y:
y zmienia się od 1 do 2
2. rzutujemy na x:
x się zmienia od \(\displaystyle{ \sqrt{1-y^2}}\) do \(\displaystyle{ \sqrt{4-y^2}}\)

Zatem mamy całkę:
\(\displaystyle{ \int\limits_1^2 t\limits_{\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} xy^2 dx dy =
t\limits_1^2 ft[ \frac{1}{2}x^2y^2 \right]_{\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} dy = \\
= t\limits_1^2 \frac{3}{2}y^2 dy = \frac{1}{2} ft[ y^3 \right]_1^2= 3,5}\)

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Obliczanie całki podwójnej po kole

Post autor: Amon-Ra » 19 wrz 2007, o 12:54

Obszarem całkowania będzie część koła między promieniem 1 i 2, położona w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych (taka ćwiartka opony ).

Od razu przechodzimy na współrzędne biegunowe, podstawiając \(\displaystyle{ x=r\cos\varphi}\), \(\displaystyle{ y=r\sin\varphi}\), jakobian przekształcenia wynosi r. Korzystamy z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej:

\(\displaystyle{ \iint_{D}xy^2dxdy=\iint_{\Delta}r\cdot r\cos\varphi r^2\sin^2\varphi dr d\varphi=\iint_{\Delta}r^4 \sin^2 \varphi \cos\varphi drd\varphi=...}\)

Dalej określamy zbiór \(\displaystyle{ \Delta}\) - kąt liczony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od osi Ox zmieniać się będzie od 0 do Π/2, promień zaś od 1 do 2, stąd szukany zbiór to prostokąt \(\displaystyle{ \left[0,\frac{\pi}{2}\right]\times ft[1,2\right]}\):

\(\displaystyle{ ...=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\varphi \cos\varphi d\varphi t_{1}^{2}r^4dr}\)

Kolejność całkowania dowolna, aby obliczyć całkę trygonometryczną proponuję podstawić \(\displaystyle{ t=\sin\varphi}\), przez to \(\displaystyle{ dt=\cos\varphi d\varphi}\).

Scyth, to nie jest poprawnie - dlaczego zaniedbujesz przedział od 0 do 1? Granice całkowania zaś są poprawnie, ale tylko dla zmiennej w przedziale od 0 do 1, dalej otrzymujemy bzdurę.

sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Obliczanie całki podwójnej po kole

Post autor: sigma_algebra1 » 19 wrz 2007, o 12:57

Nie jest prawdą co napisał scyth , y zmienia się od 0 do 2 jest to przecież ćwiartka pierścienia, owszem można to robić w tych współrzędnych ale należałoby rozbić obszar całkowania, np w propozycji scytha trzeba byłoby rozbić przedział y na dwa odcinki [0,1] i [1,2] bo x zmienia się inaczej w pierwszym przedziale tzn. od \(\displaystyle{ \sqrt{1-y^2}}\) do \(\displaystyle{ \sqrt{4-y^2}}\) , a inaczej w drugim tzn. od 0 do \(\displaystyle{ \sqrt{4-y^2}}\). Mozna tez

Zamieniając współrzędne na biegunowe obliczyć

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}r^4\cos {\sin}^2 dr d\alpha}\)

i dla \(\displaystyle{ \alpha}\) całkując przez części

[ Dodano: 19 Września 2007, 12:59 ]
oczywiscie miało byc w ostatniej calce

Zamieniając współrzędne na biegunowe otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{1}^{2}r^4\cos {\sin}^2 dr d\alpha}\) i dla \(\displaystyle{ \alpha}\) całkując przez części

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Obliczanie całki podwójnej po kole

Post autor: scyth » 19 wrz 2007, o 13:12

drugie podejście:
Całkujemy po dużej kuli, potem po małej i liczymy różnicę, czyli:
- duża kula:
y od 0 do 2
x od 0 do \(\displaystyle{ \sqrt{4-y^2}}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_0^2 t\limits_0^{\sqrt{4-y^2}} xy^2 dx dy = t\limits_0^2 ft[ \frac{1}{2} x^2y^2 \right]_0^{\sqrt{4-y^2}} dy = t\limits_0^2 (2y^2-\frac{y^4}{2}) dy = \\
= ft[ \frac{2}{3} y^3 - \frac{y^5}{10} \right]_0^2 = \frac{16}{3} - \frac{16}{5}=\frac{32}{15}}\)

- mała kula:
y od 0 do 1
x od 0 do \(\displaystyle{ \sqrt{1-y^2}}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_0^1 t\limits_0^{\sqrt{1-y^2}} xy^2 dx dy = t\limits_0^1 ft[ \frac{1}{2} x^2y^2 \right]_0^{\sqrt{1-y^2}} dy = t\limits_0^1 (\frac{y^2}{2}-\frac{y^4}{2}) dy = \\
= ft[ \frac{y^3}{6} - \frac{y^5}{10} \right]_0^1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{10}=\frac{1}{15}}\)


Zatem \(\displaystyle{ \iint_{D}xy^{2}dxdy = \frac{31}{5}}\)

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Obliczanie całki podwójnej po kole

Post autor: Amon-Ra » 19 wrz 2007, o 13:24

Teraz wydaje się być OK, przynajmniej co do wyniku końcowego .

Widać chyba już dobitnie, jakie korzyści związane są ze stosowania twierdzenia o zamianie zmiennych.

ODPOWIEDZ