Wyznaczyc ekstrema

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
batory1533
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 19 wrz 2007, o 09:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radomsko
Podziękował: 4 razy

Wyznaczyc ekstrema

Post autor: batory1533 » 19 wrz 2007, o 11:26

Nie potrafie obilczyc ekstrema funkcji wielu zmiennych

[ Dodano: 19 Września 2007, 11:27 ]
Prosze o pomoc , zadanie polega na obliczenie ekstremów w funkcji :

\(\displaystyle{ f(x,y) = x^{2} + xy + y^{2} - 2x - y}\)

poprosiłbym krok po kroku bo nie moge tego rozgrysc,
z góry dziekuje za wszystkie odpowiedzi.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Wyznaczyc ekstrema

Post autor: scyth » 19 wrz 2007, o 11:27

ojej :) daj przykład to policzymy...

[ Dodano: 19 Września 2007, 11:39 ]
krok pierwszy
szukamy punktów stacjonarnych, czyli miejsc zerowych pochodnych cząstkowych funkcji f (warunek konieczny):
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x+y-2 \\
\frac{\partial f}{\partial y} = x+2y-1 \\}\)

Dostajemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x+y-2=0 \\
x+2y-1=0
\end{cases}}\)

Rozwiązania tego układu to hipotetyczne ekstrema.
A rozwiązaniem tego układu jest punkt (1,0).

krok drugi
liczymy drugi pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1 \\}\)

oraz liczymy wyznacznik macierz pochodnych (hesjan) w podanym punkcie:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c c|}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \\
\end{array}
=
\begin{array}{|c c|}
2 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{array}
= 4-1=3}\)

Akurat tutaj tego nie widać, ale może się zdarzyć, że drugi pochodne będą uzależnione od x lub y - wtedy wstawiasz znalezione wartości.

krok trzeci
badamy wyznacznik hesjanu;
- jeśli jest > 0 to mamy minimum
- jeśli jest < 0 to mamy maksimum

A więc funkcja w (1,0) ma minimum lokalne.

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Wyznaczyc ekstrema

Post autor: Amon-Ra » 19 wrz 2007, o 12:36

scyth pisze:krok trzeci
badamy wyznacznik hesjanu;
- jeśli jest > 0 to mamy minimum
- jeśli jest < 0 to mamy maksimum
Ojojoj. Zapomniałeś o treści kryterium Sylvestera.

Jeżeli hesjan (macierz drugiej pochodnej) jest określony dodatnio (czyli wszystkie minory główne są dodatnie), to jest minimum, jeżeli zaś ujemnie (pierwszy minor ujemny, drugi dodatni i naprzemiennie), jest maksimum.

Osobną sprawą są przypadki, gdy hesjan jest określony niedodatnio, nieujemnie, lub gdy jest nieokreślony.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Wyznaczyc ekstrema

Post autor: scyth » 19 wrz 2007, o 12:52

no chyba za szybko ;)
batory1533, zajrzyj tu -> http://pl.wikipedia.org/wiki/Ekstremum
Jest napisane jak stwierdzić z jakim ekstremum mamy do czynienia, nie będę tego przepisywał.
Przepraszam za błąd...

batory1533
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 19 wrz 2007, o 09:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radomsko
Podziękował: 4 razy

Wyznaczyc ekstrema

Post autor: batory1533 » 19 wrz 2007, o 12:54

Spox i tak dzieki za pomoc dokładnie przestudiuje ten link.

ODPOWIEDZ