objętość kuli i walca

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
MicScreAm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 12 mar 2007, o 15:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

objętość kuli i walca

Post autor: MicScreAm » 19 wrz 2007, o 08:34

Dla kuli o wzorze ogolnym \(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 q 5}\) i walcu o wzorze \(\displaystyle{ x^2 + y^2 q 1}\) oblicz:

a) jaka czesc objetosci kuli zajmuje walec
b) czesc wspolna kuli i walca.

Ma ktos pomysl jak to rozwiazac?
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2007, o 12:32 przez MicScreAm, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

objętość kuli i walca

Post autor: sigma_algebra1 » 19 wrz 2007, o 12:23

Odp na b) (znając b i już nietrudno wyliczyć znając wzor na objetość kuli )

Można to zrobić np. tak:

Mamy całkę:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}2\sqrt{5-x^2-y^2}dydx}\)

Zamieniając współrzędne na biegunowe otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}2r\sqrt{5-r^2}drd\alpha}\)

Dalej stosując podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{5-r^2}=t}\), otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{\sqrt{5}}2t^2dtd\alpha}\) i dalej już prosto


MicScreAm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 12 mar 2007, o 15:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

objętość kuli i walca

Post autor: MicScreAm » 19 wrz 2007, o 12:37

dlaczego zmieniasz granice calkowania, raz masz od 0 do 1 (druga calka),
a w kolejnym wierszu masz calke z granica od 2 do pierwiastek z 5??

Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom
Podziękował: 311 razy
Pomógł: 5 razy

objętość kuli i walca

Post autor: qaz » 19 wrz 2007, o 13:07

bo było wykonywane podstawienie, a wtedy w całce oznaczonej zmienia sie granice, zgodnie z tym podstawieniem.

MicScreAm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 12 mar 2007, o 15:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

objętość kuli i walca

Post autor: MicScreAm » 19 wrz 2007, o 13:10

oki czaje-dzieki za pomoc

[ Dodano: 19 Września 2007, 13:23 ]
moze wyjsc wynnik ujemny? bo mi cos wyszlo -4,186 i nie wiem czy dobrze:/

[ Dodano: 19 Września 2007, 13:34 ]
moze granica calki jest zla, nie powinno byc od pierwiastek z 5 do 2??

sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

objętość kuli i walca

Post autor: sigma_algebra1 » 19 wrz 2007, o 13:39

zauważ ze tam z podstawienia wskazanego pojawilby sie minus, ale odwrocenie granic powoduje ze pojawia sie kolejny minus
wiec na pewno ma byc od 2 do pierwiastek z 5

oczywiscie objetość ujemna być nie moze!

mi wychodzi z tej ostatniej całki

\(\displaystyle{ 2\pi \frac{2}{3}[5\sqrt{5}-8]}\)

wiec wynik jest dodatni

ODPOWIEDZ