zadanie z parametrem

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
szorell2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 26 sie 2007, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rzeszów

zadanie z parametrem

Post autor: szorell2 » 19 wrz 2007, o 07:16

Dla jakich wartości parametru a dziedziną funkcji \(\displaystyle{ y=\frac{x^{2}+ax+1}{x^{2}+3x-3a}}\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, zaś zbiorem wartości przedział \(\displaystyle{ }\)?

Proszę o pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

zadanie z parametrem

Post autor: jasny » 19 wrz 2007, o 09:18

Aby dziedziną był zbiór liczb rzeczywistych, mianownik musi być różny od zera dla każdego x, nie zależnie od parametru a. Mianownik jest funkcją kwadratową, przy czym współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) jest dodatni (ramiona paraboli zwrócone w górę). Aby ta funkcja nie przyjmowała wartości zero, nie może mieć miejsc zerowych, parabola musi leżeć w całości 'nad osią'. Warunek na to: \(\displaystyle{ \Delta}\)
\(\displaystyle{ 9+12a}\)
\(\displaystyle{ a}\)

Skoro zbiór wartości ma wynosić \(\displaystyle{ }\), to \(\displaystyle{ 0\leq y\leq\frac{8}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^2+ax+1}{x^2+3x-3a}\geq0\,\wedge\,\frac{x^2+ax+1}{x^2+3x-3a}\leq\frac{8}{3}}\) Z pierwszego warunku wynika, że mianowniki są dodatnie
\(\displaystyle{ x^2+ax+1\geq0\,\wedge\,3x^2+3ax+3\leq8x^2+24x-24a}\)
\(\displaystyle{ x^2+ax+1\geq0\,\wedge\,5x^2+3x(8-a)-3(8a+1)\geq0}\)
Aby te nierówności były spełnione, w obu przypadkach delta musi być niedodatnia (współczynniki prz \(\displaystyle{ x^2}\) są dodatnie, parabole muszą leżeć nad osią OX (\(\displaystyle{ \Delta}\)), bądź mieć jeden punkt wspólny z osią (\(\displaystyle{ \Delta=0}\)), nie mogą zaś przyjmować wartości ujemnych, czyli 'przechodzić pod oś')
\(\displaystyle{ \Delta_1=a^2-4,\;\Delta_2=576-144a+9a^2+480a+60=9a^2+336a+636}\)

\(\displaystyle{ a^2-4\leq0}\)
\(\displaystyle{ (a-2)(a+2)\leq0}\)
\(\displaystyle{ a\in}\)

\(\displaystyle{ 9a^2+336a+636\leq0}\)
\(\displaystyle{ \Delta'_2=90000,\,\sqrt{\Delta'_2}=300}\)
\(\displaystyle{ a_1=\frac{-336-300}{18}=-\frac{106}{3},\;a_2=\frac{-336+300}{18}=-2}\)
\(\displaystyle{ a\in}\)

\(\displaystyle{ a\in(-\infty;-\frac{3}{4})\cap\cap}\)
\(\displaystyle{ a=-2}\)

mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

zadanie z parametrem

Post autor: mateusz200414 » 21 wrz 2007, o 20:39

podpinam się do tematu,
możesz jasny, wytłumaczyć dlaczego w wyznaczaniu zbioru wartości przy wyliczaniu delty dałeś założenie \(\displaystyle{ \leq}\)?
w przypadku dziedziny jest to oczywiste, ale nie wiem dlaczego w przypadku zb. wart.

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

zadanie z parametrem

Post autor: jasny » 22 wrz 2007, o 20:36

Mamy tam dwie nierówności, które muszą być spełnione dla każdego iksa. Nierówności są postaci \(\displaystyle{ f(x)\geq0}\), gdzie f(x) jest funkcją kwadratową, z dodatnim współczynnikiem przy \(\displaystyle{ x^2}\) (ramiona parabol ku górze). Narysuj sobie wykresy w różnych przypadkach z deltą, i zobacz, że nierówności będą spełnione dla każdego iksa jeśli parabole będą nad osią lub mieć wierzchołek na osi, czyli \(\displaystyle{ \Delta\leq0}\).

mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

zadanie z parametrem

Post autor: mateusz200414 » 23 wrz 2007, o 13:45

dziękuję za odpowiedź

teraz juz rozumiem

ODPOWIEDZ