wykorzystanie wł. f. kw.i jej wykresu do rozwiazywania zada

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
woznyadam
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 242
Rejestracja: 23 kwie 2006, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 97 razy

wykorzystanie wł. f. kw.i jej wykresu do rozwiazywania zada

Post autor: woznyadam » 18 wrz 2007, o 22:36

zad 1
suma dwoch liczb jest rowna 6. znajdz te liczby, jesli wiadomo ze suma podwojonego kwadratu jednego z nich i kwadratu drugiej jest naj najmniejsza z mozliwych

zad 2
w pewnej zabawie towarzyskiej kazda dziewczyna bioraca udzial w tej zabawie zadaje 2 pytania kazdemu chlopcu uczestniczacemu w zabawie, a kazdy chlopie zadaje 1 pytanie kazdej dziewczynie (dziewczyny dziewczyna i chlopcy chlopca nie zadaja pytan). W zabawie w ktorej bralo 15 osob poadlo 108 pytan. Oblicz ile dziewczat bralo udzial w zabawie jezeli wiadomo ze bylo ich wiecej niz chlopcow

zad 3
Sklep zakupił za 8160 zl pewna ilosc cukru. Gdy cukier potanial 4 gr na kilogramie to za te sama kwote zakupiono o 80 kg cukru wiecej. Ile kg i po jakiej cenie za kg kupiono za pierwszym razem




chcialbym prosic o pomoc w rozwiazaniu zadan, probuje ale nie wychodza mi
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

mihal89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 17 wrz 2007, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

wykorzystanie wł. f. kw.i jej wykresu do rozwiazywania zada

Post autor: mihal89 » 18 wrz 2007, o 22:56

2) x - chłopcy, y - dziewczyny
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2xy + xy = 108 \\
x + y = 15 \end{cases} \\
\begin{cases} 3xy = 108 \\
x = 15 - y \end{cases} \\}\)

Podstawiam do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ 3y(15 - y) = 108 \\
-3y^{2} + 45y - 108 = 0 \\
\Delta = 45^{2} - 4(-3)(-108) = 729 = 27^{2} \\
y_{1} = \frac{-45 - 27}{2(-3)} = 12 \\
y_{2} = \frac{-45 + 27}{2(-3)} = 3 \\}\)

Dziewczynek było więcej niż chłopców - 12.

edit: początek może być niejasny:
każda dziewczyna (y) zadała każdemu chłopakowi (x) po DWA pytania - 2xy
każdy chłopak zadał każdej dziewczynie jedno pytanie - xy
Suma pytań - 108

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

wykorzystanie wł. f. kw.i jej wykresu do rozwiazywania zada

Post autor: Tristan » 19 wrz 2007, o 09:06

Ad 1:
Szukamy liczb x i y. Z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ x+y=6}\) oraz, że suma \(\displaystyle{ 2x^2 +y^2}\) jest najmniejsza z możliwych. Podstawiając do tej sumy \(\displaystyle{ y=6-x}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 2x^2+(6-x)^2 =2x^2 +36-12x+x^2=3x^2 - 12x+36}\). Mamy do czynienia z funkcją kwadratową \(\displaystyle{ f(x)=3x^2 - 12x+36}\). Wykresem tej funkcji jest parabola z ramionami skierowanymi ku górze. Szukamy takiego x, dla któego wartość tej funkcji będzie najmniejsza. Z poprzedniej informacji wynika, że wartość ta będzie najmniejsza w wierzchołku. Czyli interesuje nas pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, która dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=ax^2 + bx+c}\) wyraża się wzorem \(\displaystyle{ x_{w}=- \frac{b}{2a}}\). Czyli w naszym przypadku będzie to \(\displaystyle{ x= \frac{12}{2 3}=2}\). Stąd już obliczamy, że \(\displaystyle{ y=6-2=4}\).

ODPOWIEDZ