Matematyka.pl

Wyznacz oryginał funkcji (Laplace'a):

\(\displaystyle{ F(s)=\frac{s^{2}+s+1}{ s^{3}+s }}\)

\(\displaystyle{ F(s)=\frac{s-3}{ s^{3}(s-1) }}\)

Pierwsza:
\(\displaystyle{ \frac{s^2+s+1}{s^3+s}= \frac{1}{s}+ \frac{1}{s^2+1}=\mathcal{L}\left\{ 1\right\}+\mathcal{L}\left( \sin t\right)=\mathcal{L}\left\{ 1+\sin t\right\}}\)
Zatem oryginał to \(\displaystyle{ 1+\sin t}\)
Druga:
\(\displaystyle{ \frac{s-3}{s^3(s-1)} =-2\cdot \frac{1}{s-1}+2\cdot \frac{1}{s}+2\cdot \frac{1}{s^2}+3\cdot \frac{1}{s^3}}\)
i teraz skorzystaj z liniowości transformaty Laplace'a oraz (wielokrotnie) z faktu że
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left( at^n\right) =a\cdot \frac{n!}{s^{n+1}}}\)
(kładziesz kolejno \(\displaystyle{ a=-2, a=2, a=2, a=3}\) oraz w tej samej kolejności \(\displaystyle{ n=0, n=1, n=2}\)),
aha no i wzorek (można te wszystkie wzory łatwo wyprowadzić)
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ e^{at}\right\} = \frac{1}{s-a}}\) dla \(\displaystyle{ a=1}\) (w połączeniu z liniowością transformaty Laplace'a) pozwala Ci znaleźć oryginał \(\displaystyle{ -2\cdot \frac{1}{s-1}}\)
Jak się zdaje, wychodzi taka transformata odwrotna (czy jak to tam się zwie, urwał jego nać):
\(\displaystyle{ -2\cdot e^t+2+2t+\frac 3 2t^2}\)

Ogólnie przydaje się rozkład na ułamki proste, fakt że transformata Laplace'a jest \(\displaystyle{ 1-1}\) i jakaś podstawowa tablica transformat (np. tu: ).
Są też ogólne wzory na transformatę odwrotną, ale one śmierdzą (w sensie: przeważnie są niewygodne).