Matematyka.pl

Jak to jest z pochodnymi funkcji zespolonych? Liczy się je jak normalne pochodne funkcji rzeczywistych? Jeśli mam poniższy przykład to w jaki sposób go rozwiązać? Nachodzą mi 2 myśli:
-z traktować jako x i normalnie pochodną sumy.
-za cosz podstawić ze wzoru eulera, za z=x+iy i obliczyc.
Przykład:
\(\displaystyle{ 5cosz + iz^{3}}\)

Mozesz albo liczyc tak jak w przypadku rzeczywistym, albo zamienic \(\displaystyle{ z}\) na \(\displaystyle{ x+iy}\) i traktowac to jako funkcje \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) - wyjdzie na to samo. (zakładając, że wiesz jak różniczkę takiej funkcji rzeczywistej interpretować jako liczbę zespoloną, ale to musiało być na wykładzie)

Pochodną funkcji zespolonej liczy się jak pochodną funkcji rzeczywistej, wszystkie reguły obowiązują.
Np.
\(\displaystyle{ \left(\sin(z) + z^3 \right)' = \cos(z)+3z^2}\)
Trzeba pamiętać jednak, że nie każda funkcja różniczkowalna w sensie rzeczywistym, jest różniczkowalna w sensie zespolonym. Np. \(\displaystyle{ |x|}\) jest różniczkowalny w sensie rzeczywistym wszędzie poza zerem, zaś \(\displaystyle{ |z|}\) nie jest różniczkowalny w sensie zespolonym na żadnym zbiorze otwartym, gdyż przyjmuje tylko wartości rzeczywiste, a jest różny od stałej.